私自签订公房使用权协议是否合法，需分情况讨论：

1. 若公房使用权可依法转让：

   • 合法性基础：根据相关法律法规及政策，若公房使用权属于可以依法转让的范畴，且转让行为符合当地公房管理规定（如已取得公房管理部门的批准或备案），则私自签订的公房使用权协议在满足合同生效要件（如双方意思表示真实、不违反法律或行政法规的强制性规定等）的前提下，是合法的。
   • 法律后果：合法有效的公房使用权协议对双方具有法律约束力，任何一方违反协议约定均需承担相应的法律责任。

2. 若公房使用权不可转让或转让行为未经批准：

   • 违法性分析：若公房使用权属于禁止转让的范畴，或转让行为未经公房管理部门批准或备案，则私自签订的公房使用权协议可能因违反法律或行政法规的强制性规定而无效。
   • 法律后果：无效的协议自始没有法律约束力，双方因该协议取得的财产应当予以返还；不能返还或者没有必要返还的，应当折价补偿。有过错的一方应当赔偿对方因此所受到的损失；双方都有过错的，应当各自承担相应的责任。

法律建议：

• 了解当地政策：在签订公房使用权协议前，务必了解当地关于公房使用权转让的政策和规定，确保转让行为的合法性。
• 办理审批手续：若公房使用权可依法转让，且转让行为需经公房管理部门批准或备案，则应及时办理相关手续，以确保协议的合法性和有效性。
• 谨慎签订协议：在签订协议时，应仔细审查协议条款，确保双方权利义务明确、合法，并避免签订存在模糊或歧义条款的协议。
• 咨询专业律师：若对公房使用权转让的法律问题存在疑问或不确定，建议咨询专业律师，以获取更准确、全面的法律意见。

可能涉及的法律条款：

• 《中华人民共和国民法典》中关于合同生效要件、无效合同及法律后果的相关规定。
• 当地关于公房使用权转让的具体政策或规定（需根据当地实际情况进行查询和了解）。

如有任何关于公房使用权转让的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。