当判决书中的被执行人其中一人死亡时，申请强制执行的流程会涉及一些特定的法律步骤和考虑因素。以下是一个清晰、详细且有深度的解答：

一、核心结论

被执行人死亡后，执行程序的处理主要取决于其遗产的存在与否以及继承人的态度。若被执行人有遗产且继承人未放弃继承，则继承人需在继承范围内承担债务，执行程序可继续；若无遗产或继承人放弃继承，则执行程序可能面临终结，但待发现其他可供执行财产时，可申请恢复执行。

二、详细流程

1. 确定被执行人的遗产状况

   • 法院或申请执行人需对被执行人的遗产进行全面清查，包括但不限于房产、车辆、存款、股权等个人合法财产。
   • 这一步骤是后续执行程序的基础，确保对被执行人的财产状况有清晰的了解。

2. 通知继承人并了解其态度

   • 法院会及时通知被执行人的继承人，并告知相关案件情况及遗产处理阶段。
   • 继承人需在规定期限内表明是否愿意继承遗产，以及是否愿意在继承范围内承担被执行人的债务。

3. 处理遗产与债务

   • 若继承人不放弃继承：
     • 继承人需在所继承遗产的范围内承担清偿被执行人生前债务的责任。
     • 法院会裁定变更继承人为被执行人，并继续执行程序，对遗产进行评估、拍卖等处置，以偿还债务。
   • 若继承人放弃继承：
     • 继承人则对被执行人生前的债务不承担清偿责任。
     • 法院可直接对遗产进行处置，用以偿还债务，无需经过继承人同意。

4. 准备并提交相关材料

   • 作为申请执行人，您需要准备以下材料以继续申请执行：
     • 身份证明：证明您的身份，如身份证、户口本等。
     • 执行申请书：明确申请执行的事项、理由及请求。
     • 原执行依据：即法院作出的生效判决书、裁定书等法律文书。
     • 被执行人遗产证明：如房产证、车辆登记证、银行存款证明等，以证明被执行人的遗产状况。
     • 继承人信息及态度证明：如继承人出具的声明书、法院关于继承的判决书或调解书等，以证明继承人的态度及继承情况。

5. 法院审查与处理

   • 法院收到申请后，将进行严格的审查，包括申请人是否为适格的申请执行人、提交的材料是否真实合法有效等。
   • 若审查通过，法院将裁定变更申请执行主体（如涉及继承人继承的情况）或继续执行程序，并采取相应的执行措施。

6. 继续执行程序

   • 一旦法院裁定继续执行程序，您即可按照正常的执行程序要求法院采取相应的执行措施，如查询、冻结、划拨被执行人的财产（现为遗产），查封、扣押、拍卖被执行人的物品（现为遗产物品）等。

三、注意事项

1. 密切关注法院通知：在整个执行过程中，您应密切关注法院的通知和裁定，及时配合法院的工作，以确保执行程序的顺利进行。
2. 积极查询遗产情况：您应通过多种途径了解被执行人的遗产情况，以便及时采取措施，确保自己的合法权益得到有效实现。
3. 咨询专业律师：由于执行过程可能涉及复杂的法律问题和程序，建议您咨询专业律师或法律机构，以确保流程的准确性和合法性。

四、特殊情况处理

• 若被执行人无遗产或遗产不足以清偿全部债务：执行程序可能会面临终结。但待发现被执行人有其他可供执行的财产时，您可向法院申请恢复执行。
• 若涉及多个继承人：您可能需要与所有继承人进行沟通协商，以确定如何共同承担债务或处理遗产。在此过程中，法院可能会组织调解或听证会以协助解决争议。

综上所述，当判决书中的被执行人其中一人死亡时，申请强制执行需要遵循一定的法律流程和提交必要的材料。通过积极配合法院的工作、密切关注执行进展并咨询专业律师的意见，您可以有效维护自己的合法权益。