结论：母亲通过遗嘱公证将房子留给儿子，儿子继承后再卖出是否需要缴纳20%的税，这主要取决于是否满足个人所得税的免征条件。若不满足，则可能需要按照财产转让所得缴纳20%的个人所得税，但具体税额还需根据房屋原值、合理费用等因素计算。

详细分析：

1. 个人所得税的免征条件：

   • 根据相关规定，如果继承的房产满足“满五唯一”条件，即该房产是家庭唯一生活用房且自用达到5年以上，可以免征个人所得税。
   • 若继承的房产在持有期间未满两年即出售，或者不满足“满五唯一”条件，则需要缴纳个人所得税。

2. 个人所得税的计算：

   • 如果能够提供合法、完整、准确的房屋原值凭证，个人所得税按照财产转让所得20%的比例征收。计算公式为：\(应纳税额 = （转让收入 - 房屋原值 - 合理费用）× 20\%\)。其中，合理费用包括装修费用、手续费、公证费等。
   • 如果不能提供房屋原值凭证，税务机关可能会采用核定征收的方式，一般按住房转让收入的1%-3%来征收个人所得税，但具体比例可能因地区而异。

3. 其他税费的考虑：

   • 增值税及附加税：如果继承后的房产在持有期间未满两年即出售，需缴纳增值税，税率一般为房屋成交价的5%，并可能涉及城市维护建设税、教育费附加和地方教育附加等附加税。但若房产持有满两年，则通常免征增值税（北上广深地区除外，需为普通住房且满2年）。
   • 契税：在继承环节，子女作为法定继承人继承房产通常是免缴契税的。在出售环节，契税由买方承担，卖方无需缴纳。
   • 土地增值税和印花税：对于个人销售住房，一般暂免征收土地增值税和印花税。

建议与行动：

• 在出售继承的房产前，建议先了解当地的税收政策，特别是关于个人所得税的免征条件和计算方式。
• 准备好房屋原值凭证、合理费用凭证等相关资料，以便在计算个人所得税时能够准确扣除。
• 如果对税收政策有疑问或不确定如何计算税额，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和计算方式。

示例说明：

假设儿子继承的房产转让收入为100万元，房屋原值为60万元，合理费用（如装修费用、手续费等）为10万元，且不满足“满五唯一”条件。那么，应缴纳的个人所得税为：\((100 - 60 - 10) × 20\% = 6\)万元。若满足“满五唯一”条件，则免征个人所得税。