针对辞退未签订劳动合同的员工，用人单位可能面临支付双倍工资差额及赔偿金的责任，具体赔偿情况需根据劳动关系解除的合法性及员工的工作年限等因素确定。以下从不同角度为您详细分析：

一、双倍工资赔偿

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 计算方式：从用工之日起满一个月的次日开始计算，直至双方补订书面劳动合同的前一日；若满一年仍未签订，则用人单位需支付自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日这11个月的双倍工资差额。

计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（最多11个月）

实例说明：如小张于2024年1月1日入职，11月1日被辞退且期间未签订合同，公司应支付其2024年2月1日至10月31日的双倍工资差额。若小张月工资为5000元，则公司需支付的双倍工资差额为5000元 × 9个月 = 45000元（但注意，实际计算中需考虑是否满一年，若满一年则按11个月计算）。

二、违法解除劳动关系的赔偿

1. 法律依据：若用人单位违法辞退未签订劳动合同的员工，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

2. 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准计算；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

计算公式：经济补偿 = 月工资 × 工作年限（工作年限不足半年的按0.5个月计算，半年以上不足一年的按1个月计算）

1. 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿的两倍。

计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2

实例说明：如小李在公司工作2年3个月，月平均工资5000元，被违法辞退，则经济补偿为2.5个月工资，即12500元；赔偿金为经济补偿的两倍，即25000元。

三、合法解除劳动关系的情况及补偿

1. 无需支付补偿的情形：若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形（如试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度等），用人单位解除劳动关系无需支付经济补偿和赔偿金，但仍需支付未签订合同期间的双倍工资差额（如符合支付条件）。

2. 需支付经济补偿的情形：若用人单位依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条规定解除劳动关系（如劳动者不能胜任工作经培训或调整岗位仍不能胜任等），需支付经济补偿，但无需支付赔偿金。同时，也可能需支付未签订合同期间的双倍工资差额。

四、弥补违约责任的方法

1. 协商解决：用人单位可以与劳动者协商，就双倍工资差额、经济补偿或赔偿金等事项达成一致，并签订书面协议。

2. 补签劳动合同：尽管已经辞退员工，但补签劳动合同可以作为一种弥补措施，表明用人单位认识到未签订劳动合同的错误，并愿意承担相应责任。不过，补签劳动合同并不能免除用人单位支付双倍工资差额的责任，但可能有助于在协商或诉讼中争取更有利的地位。

3. 积极应对劳动仲裁或诉讼：若协商不成，用人单位应积极准备证据，应对劳动仲裁或诉讼。在仲裁或诉讼过程中，用人单位应如实陈述事实，提供相关证据，并尊重仲裁或判决结果。

五、建议与注意事项

1. 及时签订劳动合同：用人单位应自用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同，以避免支付双倍工资差额的风险。

2. 合法解除劳动关系：用人单位在解除劳动关系时，应确保解除行为的合法性，避免违法辞退带来的赔偿金风险。

3. 保留相关证据：用人单位应妥善保管与劳动者签订的劳动合同、工资支付记录、考勤记录等证据，以备不时之需。

4. 寻求专业法律帮助：在处理劳动纠纷时，用人单位可以寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到充分保障。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。