结论前置：
- 若合同未明确约定付款期限，双方应首先尝试协商补充约定；若无法达成一致，可依据交易习惯或合同相关条款确定付款期限；在合理期限内，债权人可随时要求债务人付款，但需给予必要准备时间。
- 若债务人逾期未付，将承担违约责任，包括支付逾期利息及可能的其他损失赔偿。
- 诉讼时效问题也需注意，自债权人主张权利且合理准备时间届满后起算，期间内若发生特定情形可导致时效中断。
详细分析：
一、付款期限的确定
双方协商补充约定：
- 根据《民法典》第五百一十条，合同生效后，对于质量、价款、履行地点等未约定或不明确的内容，当事人可协议补充。因此，当合同未约定付款期限时，双方应首选通过协商达成补充协议，明确付款时间。这是最直接且高效的方式，有助于维护双方的合作关系的稳定。
按照交易习惯确定：
- 若协商不成，可依据合同相关条款或行业交易习惯来确定付款期限。例如，某些行业通常规定货物交付后30天或60天内付款，若双方未排除此类惯例，则可据此执行。这种方式依赖于行业的普遍做法，有助于减少争议。
随时履行与催告：
- 根据《民法典》第五百一十一条第四项，若仍无法确定付款期限，债务人可随时履行，债权人也可随时请求履行，但需给予对方必要的准备时间。这意味着，在缺乏明确约定的情况下，双方都有一定的灵活性，但同时也需要尊重对方的合理需求。
二、违约责任的承担
逾期付款利息：
- 一旦债权人依法要求债务人在合理期限内付款而债务人未履行，即构成逾期付款。根据相关法律解释，逾期付款损失的计算可基于中国人民银行授权全国银行间同业拆借中心公布的一年期贷款市场报价利率（LPR）标准加计30%-50%，具体视违约行为发生时间而定。这是债务人因逾期付款而需承担的主要经济责任。
其他违约责任：
- 除逾期利息外，债务人还需承担因逾期付款给债权人造成的其他损失，如追讨欠款产生的合理费用（律师费、诉讼费等）。这些费用是债权人因债务人违约而额外支出的，应由债务人承担。
合同解除与违约责任：
- 在特定情况下，如一方明确表示或以行为表明不履行合同义务，另一方可在履行期限届满前请求其承担违约责任。即使合同解除，违约金条款仍有效。这意味着，违约责任的承担并不完全依赖于合同的继续履行，而是基于违约行为本身。
三、诉讼时效问题
诉讼时效的起算：
- 根据《民法典》第一百八十八条，诉讼时效期间为三年。对于未约定付款期限的合同，诉讼时效自债权人向债务人主张权利且给予的合理准备时间届满后开始计算。这是债权人行使权利的时间限制，需特别注意。
诉讼时效中断：
- 在诉讼时效期间内，若债权人向债务人提出履行请求、债务人同意履行义务或债权人提起诉讼、申请仲裁等，将导致诉讼时效中断，并重新计算。这意味着，债权人可以通过积极行动来维护自己的权益，防止诉讼时效的过期。
四、预防与应对措施
预防措施：
- 为避免类似纠纷，建议在订立合同时明确各项关键条款，特别是付款期限。若合同订立时未能明确，应及时通过补充协议等方式进行补正。在合同履行过程中，双方应保持沟通，对付款时间等分歧及时以书面形式明确。
应对措施：
- 若已发生逾期付款的情况，债权人应首先与债务人进行协商，寻求和解；若协商不成，可考虑通过法律途径解决，如提起诉讼或申请仲裁。在诉讼或仲裁过程中，债权人需提供充分的证据来证明自己的权益和债务人的违约行为。
五、具体案例说明
假设甲乙双方签订了一份买卖合同，但未明确约定付款期限。货物交付后，甲方向乙方催告付款，并给予了乙方10天的准备时间。若乙方在10天后仍未付款，则构成逾期付款。此时，甲方有权要求乙方支付逾期利息（基于LPR标准加计30%-50%）以及因追讨欠款产生的合理费用（如律师费、诉讼费等）。若甲方选择通过法律途径解决争议，则需在诉讼时效期间内（即自催告后10天届满之日起三年内）提起诉讼或申请仲裁。
综上所述，合同未约定付款期限时，双方应遵循相关法律法规，通过协商、交易习惯或法律规定的方式确定付款期限，并在合理范围内行使权利、履行义务。若发生逾期付款的情况，债权人应及时采取措施来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。