当合同中未明确约定付款期限时，这确实可能会给合同的履行带来一些不确定性。不过，别担心，我们可以根据相关法律法规和行业惯例，来一步步解决这个问题。
首先，尝试协商补充约定：
根据《民法典》的相关规定，合同生效后，如果对于质量、价款、履行地点等未约定或不明确的内容，当事人是可以协议补充的。所以，当合同未约定付款期限时，双方应首选通过友好协商，达成一个补充协议，明确付款的具体时间。这样既能保障双方的权益，也能避免后续可能出现的纠纷。
如果协商不成，可以依据交易习惯或合同相关条款来确定：
交易习惯：在某些行业，存在普遍认可的交易习惯，比如货物交付后30天或60天内付款。如果双方在合同中没有排除此类惯例，那么就可以依据这些习惯来确定付款期限。
合同相关条款：有时候，合同中可能虽然没有直接约定付款期限，但有其他与付款相关的条款，比如交货时间、验收标准等。这些条款也可以作为推断付款日期的参考。
如果仍然无法确定，那么应遵循法律规定的合理期限原则：
根据《民法典》的规定，如果履行期限不明确，债务人可以随时履行，债权人也可以随时请求履行，但应当给对方必要的准备时间。这意味着，在合理期限内，债权人可以随时要求债务人付款，但需要给予债务人一定的准备时间，比如几天或几周，具体取决于交易的性质和双方的实际情况。
关于违约责任的承担：
如果债务人逾期未付款，那么他将需要承担违约责任。这包括支付逾期利息，以及可能因逾期付款给债权人造成的其他损失，比如追讨欠款产生的合理费用（律师费、诉讼费等）。逾期利息的计算通常基于中国人民银行授权全国银行间同业拆借中心公布的一年期贷款市场报价利率（LPR）标准加计一定比例，具体视违约行为发生时间而定。
诉讼时效问题：
对于未约定付款期限的合同，诉讼时效自债权人向债务人主张权利且给予的合理准备时间届满后开始计算，通常为三年。在诉讼时效期间内，如果债权人向债务人提出履行请求、债务人同意履行义务或债权人提起诉讼、申请仲裁等，将导致诉讼时效中断，并重新计算。
建议与预防措施：
在订立合同时明确付款期限：这是避免后续纠纷的最有效方法。双方应在合同中明确约定付款的具体时间或条件。
及时协商补充协议：如果合同订立时未能明确付款期限，双方应及时通过协商达成补充协议，并以书面形式作为合同的补充条款。
保持沟通并保存证据：在合同履行过程中，双方应保持沟通，对付款时间等分歧及时以书面形式明确。同时，债权人应妥善保存与催告付款相关的所有证据，以证明已履行通知义务。
综上所述，合同未约定付款期限时，双方应首先尝试协商补充约定；若协商无果，则可依据交易习惯或合同相关条款确定；仍无法确定时，应遵循法律规定的合理期限原则。同时，双方应了解并承担可能的违约责任，并注意诉讼时效的限制。希望这些建议能帮助您妥善解决这个问题。