当一方去世且没有留下遗嘱时，其遗产的处理将遵循法定继承的程序。若被继承人没有继承人或者所有继承人均放弃继承，那么遗产的处理将涉及一些特定的法律程序和机构。以下是根据相关法律法规，结合您提供的参考信息，给出的详细解答：
一、遗产管理人的指定
申请指定：在继承开始后，如果被继承人（非农村集体经济组织成员）没有继承人或者所有继承人均放弃继承，利害关系人（如债权人、受遗赠人等）可以根据相关法律规定，向人民法院申请指定民政部门担任遗产管理人。这一申请可以在诉讼过程中提出，也可以在诉讼前单独提出。
指定机构：担任遗产管理人的民政部门通常是被继承人生前住所地的区级民政部门。人民法院在判决指定或同意追加民政部门担任遗产管理人后，民政部门将依法履行其职责。
二、遗产管理人的职责
清理遗产：民政部门作为遗产管理人，首要任务是清理遗产并制作遗产清单，确保遗产的完整性和准确性。
防止毁损灭失：采取必要措施防止遗产毁损、灭失，如妥善保管遗产、及时维修等。
处理债权债务：处理被继承人的债权债务，包括通知债权人、偿还债务、追讨债权等。
其他必要行为：实施与管理遗产有关的其他必要行为，如遗产的出租、出售等。
三、遗产的处置
剩余遗产的处理：在依法处理被继承人的债权债务后，如果仍有剩余遗产，民政部门可以向人民法院提起无主财产确认之诉。经人民法院判决认定剩余遗产无主并收归国家所有的，由区级民政部门申请作出判决的人民法院执行。
遗产的用途：收归国有的无人继承遗产，应当主要用于扶贫济困、扶老救孤、恤病助残以及教、科、文、卫等公益事业，以体现社会公益和公平原则。
四、相关费用与保障
费用列支：民政部门在查询、管理、处置遗产等过程中产生的费用，从被继承人遗产中优先列支。如果遗产不足以支付这些费用，不足部分由同级财政保障。
日常工作经费：各级民政部门履行遗产管理人职责所需的日常工作经费列入同级财政预算，全额予以保障，以确保民政部门能够顺利履行其职责。
五、多部门协作与支持
在处理无人继承遗产的过程中，公安、司法、财政、人力资源社会保障、规划资源、住房城乡建设管理、市场监管、医保、知识产权、房屋管理、金融管理、税务、工会等部门、单位将按照各自职责，建立与民政部门履行遗产管理人职责相关的工作制度，并加强人员培训，为民政部门履职提供支持。
综上所述，当一方去世且没有留下遗嘱时，其遗产的处理将涉及遗产管理人的指定、遗产管理人的职责履行、遗产的处置以及相关费用与保障等多个方面。这一过程需要遵循法定程序，并可能涉及多个政府部门的协作与支持。