肇事逃逸撞到路边广告牌的处罚需分情况讨论，主要依据事故后果及逃逸情节的严重性来判定，具体如下：

1. 若事故仅造成公共财产（广告牌）损失，未构成犯罪
   根据《道路交通安全法》第99条，肇事逃逸尚未构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处200元以上2000元以下罚款，可并处15日以下拘留，同时需承担广告牌的民事赔偿责任（如修复或赔偿损失）。

2. 若事故造成人员伤亡或重大财产损失，构成犯罪
   根据《刑法》第133条，交通肇事逃逸且存在以下情形之一的，构成交通肇事罪，处3年以上7年以下有期徒刑；若因逃逸致人死亡，处7年以上有期徒刑：

   • 死亡1人或重伤3人以上，负事故全部或主要责任；
     
   • 死亡3人以上，负事故同等责任；
     
   • 造成公共财产或他人财产直接损失，负事故全部或主要责任且无能力赔偿数额在30万元以上。
     此外，仍需承担广告牌的民事赔偿责任，且保险公司可能对逃逸行为拒赔商业险部分。

3. 特殊情形：逃逸后自首
   若逃逸后主动投案并如实供述，可依法从轻或减轻处罚；若积极赔偿损失并取得谅解，可能进一步减轻刑事责任或行政处罚。

建议：

• 立即报警并返回现场，配合调查以避免处罚升级；
  
• 联系广告牌所有权人协商赔偿，保留相关证据（如现场照片、维修报价单）；
  
• 若涉及刑事责任，尽快委托律师介入，争取从宽处理。
  

如有进一步细节（如是否有人员伤亡、逃逸时间等），可向我补充说明，我会为您具体分析。