结论：私生子在孩子父亲去世后，其生前私自做的亲子鉴定在一定条件下是可以作为证据使用的，但具体效力需结合实际情况判断。以下从多个角度进行详细分析：
一、亲子鉴定的法律效力基础
亲子鉴定，作为确定亲子关系的重要手段，其法律效力主要来源于《中华人民共和国民法典》中关于亲子关系确认的相关规定。虽然民法典并未直接规定亲子鉴定的具体程序或效力，但根据法律原则和司法实践，合法的亲子鉴定结果通常被视为证明亲子关系的有力证据。
二、私自做的亲子鉴定能否作为证据
合法性角度：
- 私自做的亲子鉴定，如果其鉴定过程、鉴定机构、鉴定人员等均符合法律规定，且鉴定样本来源合法，那么该鉴定结果在法律上是可以被认可的。
- 然而，如果鉴定过程存在瑕疵，如鉴定机构不具备资质、鉴定人员无执业资格、鉴定样本来源不明或存在污染等，那么该鉴定结果可能被视为非法证据，不被法院采纳。
证据效力角度：
- 即使亲子鉴定是私自进行的，只要其合法性得到确认，该鉴定结果就可以作为证据使用。在民事诉讼中，证据的效力主要取决于其真实性、合法性和关联性。
- 亲子鉴定结果直接关联到亲子关系的确认，因此具有高度的关联性。只要其真实性和合法性得到确认，就可以作为认定亲子关系的依据。
司法实践角度：
- 在司法实践中，法院通常会根据亲子鉴定结果来认定亲子关系。然而，如果一方对鉴定结果提出异议，并能够提供相反证据或理由，法院可能会要求重新进行鉴定或采用其他证据来认定亲子关系。
- 此外，如果私自做的亲子鉴定是在父亲生前进行的，且父亲在生前已经认可该鉴定结果，那么该鉴定结果在父亲去世后仍然可以作为证据使用。但如果父亲生前对鉴定结果提出异议，或者存在其他争议点，那么该鉴定结果的效力可能会受到影响。
三、特殊情况下的考虑
父亲去世后的证据收集：
- 在父亲去世后，如果需要进行亲子关系确认，私自做的亲子鉴定可能成为关键证据。然而，由于父亲已经去世，无法再对鉴定结果进行确认或提出异议，因此法院在审查该鉴定结果时会更加谨慎。
- 在这种情况下，除了亲子鉴定结果外，法院可能还会要求提供其他证据来佐证亲子关系，如出生证明、户口本、亲属关系证明等。
继承权确认：
- 如果私生子需要确认其继承权，那么亲子关系的确认是关键。在这种情况下，私自做的亲子鉴定结果如果合法有效，可以作为确认亲子关系的依据，进而确认其继承权。
- 但需要注意的是，继承权的确认还涉及其他因素，如遗嘱的存在、其他继承人的情况等。因此，在确认继承权时，需要综合考虑各种因素。
四、建议与注意事项
确保鉴定合法性：
- 如果需要进行亲子鉴定，建议选择具有合法资质的鉴定机构进行鉴定，并确保鉴定过程符合法律规定。
- 私自进行的亲子鉴定可能存在法律风险，因此在进行鉴定前最好咨询专业律师的意见。
保留相关证据：
- 除了亲子鉴定结果外，还应保留其他与亲子关系相关的证据，如出生证明、户口本、照片、视频等。
- 这些证据可以在需要时作为佐证，提高亲子关系确认的准确性。
及时咨询专业律师：
- 如果在亲子关系确认或继承权确认过程中遇到法律问题或争议点，建议及时咨询专业律师的意见。
- 律师可以根据具体情况提供法律建议和帮助，维护当事人的合法权益。
总结来说，私生子在孩子父亲去世后，其生前私自做的亲子鉴定在一定条件下是可以作为证据使用的。但为了确保鉴定结果的合法性和有效性，建议在进行鉴定前咨询专业律师的意见，并选择具有合法资质的鉴定机构进行鉴定。同时，在确认亲子关系或继承权时，还应综合考虑其他因素和相关证据。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。