结论：街道办编外人员合同到期后，街道办是否可以辞退该人员，需根据合同的具体约定以及相关法律法规的规定来判断。

分析角度一：合同约定

1. 合同到期终止：如果编外人员与街道办签订的劳动合同中明确约定了合同期限，且合同到期后双方未续签，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，合同到期即终止，街道办无需再承担继续雇佣的义务，此时可以视为“辞退”的一种合法形式，但更准确的表述是合同自然终止。

2. 合同续签或终止条件：若合同中约定了合同到期后的续签条件或终止条件，如双方协商一致续签、街道办根据工作需要决定是否续签等，那么街道办在合同到期后是否辞退该人员，就需依据这些约定来执行。

分析角度二：法律法规

1. 无固定期限劳动合同：如果编外人员与街道办已经连续签订了两次固定期限劳动合同，且该人员没有《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，那么在第二次合同到期时，该人员有权要求街道办与其签订无固定期限劳动合同。此时，街道办不能仅因合同到期就辞退该人员。

2. 经济补偿：即使合同到期终止，如果街道办决定不续签，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，街道办也需要向该人员支付经济补偿。经济补偿的标准根据该人员在街道办的工作年限和月工资来确定。

分析角度三：特殊情况

1. 孕期、产期、哺乳期女职工：如果编外人员是孕期、产期、哺乳期的女职工，那么根据相关法律法规的规定，街道办在合同到期后不得辞退该人员，而应当续延至相应的情形消失时终止。

2. 工伤或职业病：如果编外人员在合同期间内发生工伤或被诊断为职业病，且处于医疗期或停工留薪期内，那么街道办在合同到期后也不得辞退该人员，而应当按照相关法律法规的规定处理。

建议：

• 对于街道办而言，在合同到期前应与编外人员进行充分沟通，明确双方是否续签合同的意愿，并根据合同约定和法律法规的规定来处理合同到期后的事宜。
• 对于编外人员而言，如果合同到期后街道办提出辞退或不再续签，应了解自己的合法权益，如经济补偿、无固定期限劳动合同的签订等，并据此与街道办进行协商或寻求法律援助。

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