在父亲去世、母亲健在的情况下，嫁出去的女儿和儿子在继承财产方面享有同等的继承权。以下从多个角度为你详细分析：

法律背景与规定

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承权是男女平等的，不会因为性别或婚姻状况（如是否出嫁）而有所区别。具体来说：

1. 法定继承顺序：在父亲去世后，如果没有留下遗嘱，那么其遗产将按照法定继承顺序进行分配。第一顺序继承人包括配偶、子女和父母。在这个案例中，母亲、儿子和女儿都是第一顺序继承人。
2. 平等继承权：在同一顺序继承人中，无论性别、年龄、婚姻状况如何，都享有平等的继承权。这意味着女儿和儿子在继承父亲遗产时，份额应该是相等的。

实际操作中的考虑

虽然法律上规定了平等的继承权，但在实际操作中，可能会遇到一些特殊情况或挑战。例如：

1. 家庭协商：在一些家庭中，可能会通过协商来决定遗产的分配方式。如果家庭成员之间能够达成一致，那么可以按照协商的结果进行分配。但协商的结果应当不违反法律的规定，即女儿和儿子的继承权应当得到平等对待。
2. 遗嘱继承：如果父亲在生前留下了遗嘱，那么遗产的分配将按照遗嘱的指示进行。在这种情况下，女儿和儿子的继承权将取决于遗嘱的具体内容。但遗嘱也不能违反法律的规定，即不能剥夺女儿或儿子的合法继承权。

可能的法律后果

如果女儿或儿子的继承权受到侵害，他们可以通过法律途径来维护自己的权益。例如：

1. 提起诉讼：如果家庭成员之间无法就遗产分配达成一致，或者有人试图剥夺女儿或儿子的继承权，那么他们可以向法院提起诉讼，要求法院根据法律规定来分配遗产。
2. 法律援助：在诉讼过程中，女儿或儿子可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地了解自己的权益和诉讼程序。

建议与提醒

1. 了解法律：在处理遗产继承问题时，建议家庭成员先了解相关的法律规定，以确保自己的权益得到保障。
2. 家庭沟通：在可能的情况下，家庭成员之间应该进行充分的沟通，尽量通过协商来解决问题，避免不必要的法律纠纷。
3. 寻求专业帮助：如果遇到复杂的法律问题或纠纷，建议寻求专业律师的帮助，以确保问题得到妥善解决。

希望以上分析能够对你有所帮助。如果你还有其他关于婚姻家庭或财产继承方面的问题，欢迎随时向我咨询。