当第三次劳动合同到期，用人单位选择不续签时，劳动者确实有权获得相应的经济补偿，甚至在某些情况下可以要求赔偿金。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等特定情形，且未主动提出订立固定期限劳动合同，那么在第三次劳动合同到期时，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。若用人单位在此情况下选择不续签，则可能构成违法终止劳动合同。
二、赔偿标准
经济补偿金：
- 根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
赔偿金：
- 如果用人单位违法终止劳动合同，劳动者除了可以获得经济补偿金外，还有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 举例来说，如果劳动者应得的经济补偿金为N个月工资，那么用人单位需要支付的赔偿金就是2N个月工资。
三、特殊情况说明
- 如果劳动者在第三次劳动合同到期后，主动提出不续签或要求签订固定期限劳动合同，而用人单位同意的，则用人单位无需支付赔偿金，但可能仍需根据双方协商结果和当地法律法规支付经济补偿金。
- 如果劳动者存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等，用人单位有权不续签劳动合同，并且无需支付经济补偿金或赔偿金。
四、实际操作建议
- 保留证据：劳动者应妥善保留与用人单位签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据，以便在发生争议时维护自己的合法权益。
- 协商解决：在劳动合同到期前，劳动者可以与用人单位进行协商，就续签劳动合同或赔偿事宜达成一致意见。
- 申请仲裁或诉讼：如果用人单位拒绝续签劳动合同并拒绝支付赔偿金，劳动者可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
综上所述，当第三次劳动合同到期用人单位选择不续签时，劳动者有权根据法律规定获得经济补偿金或赔偿金。具体金额和支付方式需根据劳动者的工作年限、月工资以及用人单位的行为性质来确定。在处理此类问题时，建议劳动者和用人单位都保持冷静和理性，通过协商或法律途径来妥善解决争议。