结论：在遗嘱继承人去世且没有子女的情况下，是否适用法定继承，这主要取决于遗嘱的具体内容以及是否存在其他法定继承人。以下分情况详细说明：
遗嘱中明确指定了其他继承人：
- 如果遗嘱中不仅指定了最初的遗嘱继承人，还明确规定了在该继承人去世或无法继承时，遗产应由其他特定人继承，那么遗产将按照遗嘱中的这一后续安排进行分配，不适用法定继承。
遗嘱中未指定其他继承人，但存在其他法定继承人：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承顺序为：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在遗嘱继承人去世且没有子女的情况下，如果遗嘱中未对遗产的后续分配作出明确规定，且存在其他第一顺序或第二顺序的法定继承人（如配偶、父母、兄弟姐妹等），则遗产将按照法定继承顺序进行分配。
遗嘱中未指定其他继承人，且不存在其他法定继承人：
- 如果遗嘱继承人去世且没有子女，同时遗嘱中未对遗产的后续分配作出明确规定，且不存在其他第一顺序或第二顺序的法定继承人，那么遗产将归国家所有，用于公益事业；如果死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。但这种情况较为特殊，且在实际操作中需严格遵循相关法律规定。
法律背景与建议：
- 遗嘱继承是优先于法定继承的，但遗嘱的内容必须明确、合法，且不得违反公序良俗。
- 在制定遗嘱时，建议遗嘱人充分考虑各种可能的情况，包括遗嘱继承人的去世、无法继承等，并在遗嘱中作出明确的规定，以避免后续的法律纠纷。
- 如果遗嘱中未对遗产的后续分配作出明确规定，且存在争议，建议相关当事人及时咨询专业律师，通过法律途径解决争议。
可能法律后果：
- 如果遗嘱内容不明确或存在争议，可能导致遗产分配无法顺利进行，甚至引发法律纠纷。
- 在没有明确遗嘱或法定继承人的情况下，遗产可能归国家或集体所有制组织所有，这可能不是遗嘱人或相关当事人的初衷。
因此，在处理遗嘱继承问题时，务必确保遗嘱内容的明确性和合法性，并充分考虑各种可能的情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。