教辅机构的老师与机构之间建立的是劳动关系还是劳务关系，这主要取决于双方之间的实际合作模式、合同约定以及相关法律法规的规定。以下是对这一问题的详细解答：
一、劳动关系的定义与特征
劳动关系是指用人单位招用劳动者成为其成员，劳动者在用人单位的管理下，提供由用人单位支付报酬的劳动而产生的权利义务关系。根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》，劳动关系应具有以下特征：
- 主体资格：用人单位和劳动者需符合法律、法规规定的主体资格。
- 劳动管理：劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动。
- 业务组成部分：劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
二、劳务关系的定义与特征
劳务关系则是指平等民事主体之间就一方向另一方提供劳务、另一方接受劳务并支付对价而形成的相互平等的民事权利义务关系。这种关系通常不涉及用人单位对劳动者的全面管理，也不要求劳动者成为用人单位的成员。
三、教辅机构老师与机构的关系判断
合同约定：
- 如果教辅机构与老师签订的是劳动合同，且合同中明确规定了双方的权利义务、工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬等，且老师接受机构的管理，从事机构安排的教学工作，那么双方之间建立的是劳动关系。
- 如果双方签订的是劳务合同或其他名目的协议，且协议中明确约定双方不是劳动关系，而是劳务关系，且老师的工作相对独立，不受机构的全面管理，那么双方之间可能建立的是劳务关系。但这种情况较为少见，因为教辅机构通常需要对老师进行一定的管理和安排。
实际合作模式：
- 在实际合作中，如果老师需要遵守机构的规章制度，接受机构的教学安排和管理，从事机构的主要业务（即教学工作），并从机构领取报酬，那么双方之间更可能建立的是劳动关系。
- 如果老师的工作相对灵活，不受机构的全面管理，只是按照约定的时间和内容提供教学服务，并领取相应的报酬，那么双方之间可能更倾向于建立劳务关系。但这种情况在教辅机构中较为罕见。
法律法规的规定：
- 根据《中华人民共和国教师法》和《教师资格条例》的规定，中国公民在各级各类学校和其他教育机构中专门从事教育教学工作，应当依法取得教师资格。这并不意味着没有教师资格就不能建立劳动关系，而是强调了教师资格的重要性。在实际操作中，即使老师没有取得教师资格，只要其与教辅机构之间符合劳动关系的特征，仍然可以建立劳动关系。
四、结论与建议
- 结论：在大多数情况下，教辅机构的老师与机构之间建立的是劳动关系。因为老师需要接受机构的管理，从事机构安排的教学工作，并从机构领取报酬，这符合劳动关系的定义和特征。
- 建议：为了明确双方的权利义务关系，避免不必要的纠纷和风险，教辅机构与老师之间应当签订书面的劳动合同或劳务合同（但根据实际情况和法律法规的规定，更倾向于签订劳动合同）。在合同中明确约定双方的权利义务、工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬等关键条款，以确保双方的合法权益得到保障。
综上所述，教辅机构的老师与机构之间建立的是劳动关系还是劳务关系，需要根据双方之间的实际合作模式、合同约定以及相关法律法规的规定进行综合判断。在大多数情况下，双方之间建立的是劳动关系。