结论：仅从您描述的情况来看，司机索要300元的行为不一定构成敲诈勒索，但具体是否构成犯罪还需结合更多细节和证据来判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、敲诈勒索罪的构成要件
敲诈勒索罪是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。其构成要件主要包括：
- 主观方面：具有非法占有的目的，即意图通过威胁、要挟等手段获取不属于自己的财物。
- 客观方面：实施了威胁、要挟等行为，且这些行为足以使被害人产生恐惧心理，从而被迫交出财物。
- 客体方面：侵犯了公私财物的所有权以及他人的人身权利或者其他权益。
二、对司机行为的具体分析
司机索要金额的合理性：
- 司机索要1000元，后经协商降至300元。如果小孩呕吐确实对出租车造成了实际损害（如需要清洗、消毒等），且300元是合理的赔偿金额，那么司机的行为可能不构成敲诈勒索。因为此时司机是在主张自己的合法权益，而非非法占有。
- 如果小孩呕吐并未对出租车造成实际损害，或者造成的损害远低于300元，而司机却以此为由索要高额赔偿，那么司机的行为可能涉嫌敲诈勒索。因为此时司机具有非法占有的目的，且通过威胁报警等手段迫使您支付不合理金额。
司机威胁报警的性质：
- 威胁报警本身并不构成敲诈勒索，关键在于威胁的目的和手段。如果司机是为了维护自己的合法权益而报警（如确实存在损害且您拒绝赔偿），那么这是合法的行为。
- 如果司机以报警为威胁手段，意图迫使您支付不合理金额，且这种威胁足以使您产生恐惧心理，那么司机的行为可能构成敲诈勒索。
三、可能面临的法律后果
如果司机行为不构成敲诈勒索：
- 您支付了300元作为赔偿，且双方对此无异议，那么此事可能就此了结，不会产生进一步的法律后果。
如果司机行为构成敲诈勒索：
- 司机可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
- 您作为被害人，有权向公安机关报案，要求追究司机的刑事责任，并有权要求司机返还非法所得的财物。
四、建议与措施
收集证据：
- 如果您认为司机的行为涉嫌敲诈勒索，建议尽快收集相关证据，如聊天记录、录音、视频等，以证明司机的威胁行为和索要金额的不合理性。
报警处理：
- 在收集到足够证据后，您可以向当地公安机关报案，要求追究司机的刑事责任。
咨询律师：
- 如果您对法律程序或证据收集有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
总结：司机索要300元的行为是否构成敲诈勒索，需结合更多细节和证据来判断。如果您认为司机的行为涉嫌犯罪，建议尽快收集证据并报警处理。同时，如果您在法律方面有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。