结论：儿子能否继续经营小区物业附近的相关业务，需根据业务性质、产权归属、合同约定及法律法规综合判断。以下分情况说明：

1. 若业务为物业附属服务（如便利店、快递点等）且产权归物业所有

• 合同约定优先：若原经营者与物业签订的租赁/合作合同中明确约定“经营权不得转让”或“仅限特定主体经营”，则儿子需与物业协商变更合同主体，否则可能构成违约。
• 物业同意是关键：即使合同未明确限制，物业作为产权方有权决定是否继续出租或合作。儿子需提供合法继承证明（如遗嘱、公证书）或与原经营者共同签署的转让协议，经物业书面同意后方可接手。

2. 若业务为独立商铺（产权归原经营者或其家庭所有）

• 产权继承优先：根据《民法典》继承编，儿子作为法定继承人或遗嘱继承人，可依法继承商铺产权及经营权。需办理产权过户手续（如继承公证、房产变更登记），并持新产权证向市场监管部门变更营业执照经营者信息。
• 合同履行义务：若原商铺存在租赁合同（如租用物业场地），儿子需以继承人身份继续履行合同义务（如支付租金），或与出租方协商解除/变更合同。

3. 若业务涉及特殊资质（如餐饮、烟草专卖等）

• 资质变更不可忽视：儿子需向相关部门申请变更经营资质主体（如食品经营许可证、烟草专卖零售许可证），否则可能因“无证经营”被处罚。
• 合规审查：部分行业对经营者有特定要求（如无犯罪记录、健康证明），儿子需符合条件并提交材料完成资质转移。

4. 若原业务存在债务或纠纷

• 继承债务范围：根据《民法典》第1161条，儿子仅在继承遗产范围内承担债务。若原业务负债超过遗产价值，儿子可放弃继承以避免额外债务。
• 纠纷处理：若原业务涉及诉讼或行政处罚，儿子需以继承人身份参与程序，或通过协商/诉讼解决争议后再继续经营。

建议行动步骤：

1. 核查原业务合同、产权证明及资质文件，明确权利义务归属；
2. 与物业/出租方沟通，确认是否同意变更经营主体；
3. 办理继承公证、产权过户及资质变更手续；
4. 评估债务风险，必要时咨询律师制定应对方案。

如有进一步细节（如合同条款、产权归属争议等），可直接向我咨询，我会结合具体情形提供法律分析。