结论：在已经向第三人送达履行到期债务通知书后，债务人一般不能再直接申请执行第三人，但存在一些特殊情况和限制条件需要具体分析。
分析说明：
履行到期债务通知书的法律效力：
- 当债权人向第三人（即次债务人）送达履行到期债务通知书时，这通常意味着债权人已经通过法律程序要求第三人直接向其履行对债务人的到期债务。这一行为是基于代位权诉讼或类似法律程序，旨在绕过债务人，直接由第三人向债权人清偿债务。
- 一旦第三人收到这样的通知书，并且没有在法定期限内提出异议或履行债务，那么第三人就有义务向债权人履行该债务。
债务人申请执行第三人的限制：
- 在一般情况下，如果债权人已经通过法律程序要求第三人履行债务，并且第三人已经收到通知书，那么债务人就不能再直接申请执行第三人。因为此时，第三人的债务已经转化为对债权人的直接债务，债务人不再是该债务关系的直接当事人。
- 如果债务人试图再次申请执行第三人，这可能会构成对同一债务的重复执行，违反法律程序和公平原则。
特殊情况下的考虑：
- 通知书未生效或被撤销：如果履行到期债务通知书因某种原因未生效（如未依法送达、内容违法等）或被撤销，那么债务人可能仍然有权申请执行第三人。
- 第三人未履行或部分履行：如果第三人虽然收到了通知书，但并未履行或仅部分履行了债务，那么债务人可能仍有权就未履行的部分申请执行第三人。但这种情况下，债务人通常需要先通过法律程序确认第三人的未履行行为，并获得相应的执行依据。
- 债务人与第三人之间的其他法律关系：如果债务人与第三人之间存在其他独立的法律关系，并且这些关系与债权人要求履行的债务无关，那么债务人可能仍然有权基于这些关系申请执行第三人。但这需要具体分析这些法律关系的性质和内容。
行动建议：
- 对于债权人：在送达履行到期债务通知书前，应确保通知书的合法性和有效性，并充分了解债务人与第三人之间的债务情况。在通知书送达后，应密切关注第三人的履行情况，并及时采取法律措施维护自己的权益。
- 对于债务人：如果认为债权人要求第三人履行债务的行为侵犯了自己的权益，或者认为第三人未履行或未完全履行债务，应及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并采取相应的法律措施。
- 对于第三人：在收到履行到期债务通知书后，应认真审查通知书的内容，并在法定期限内提出异议或履行债务。如果认为通知书的内容违法或侵犯了自己的权益，应及时寻求法律救济。
法律后果：
- 如果债务人违反法律规定，擅自申请执行第三人，可能会面临法律程序的驳回或撤销，甚至可能承担因错误执行而给第三人造成的损失赔偿责任。
- 如果第三人未履行或未完全履行债务，可能会面临债权人的进一步法律追索，包括但不限于被强制执行、承担违约责任等。
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