结论：婆婆私自卖了您买的狗，这一行为可能涉及侵权，您有权根据具体情况采取相应的法律措施来维护自己的权益。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、法律关系分析
物权关系：
- 狗作为您的个人财产，您对其享有所有权。所有权包括占有、使用、收益和处分的权利。婆婆未经您同意私自卖掉狗，侵犯了您对狗的所有权。
侵权关系：
- 婆婆的行为构成对您财产权的侵害，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，您有权要求婆婆承担侵权责任，包括停止侵害、返还财产（如果可能的话）或赔偿损失。
二、可能采取的法律措施
协商解决：
- 首先，您可以尝试与婆婆进行协商，表达您的不满和诉求，看是否能够达成和解，比如婆婆赔偿您购买狗的费用或重新购买一只相似的狗给您。
报警处理：
- 如果协商无果，且婆婆的行为情节较为严重（如狗的价值较高或婆婆态度恶劣），您可以考虑向公安机关报案。虽然公安机关主要处理刑事案件，但对于某些轻微的侵权行为，他们也可以进行调解或给予相应的法律建议。不过，需要注意的是，婆婆的行为一般不构成犯罪，所以公安机关可能不会直接立案处理，但会协助您进行调解。
提起民事诉讼：
- 如果协商和报警都无法解决问题，您可以向法院提起民事诉讼，要求婆婆承担侵权责任。在诉讼过程中，您需要提供相关证据证明狗是您的个人财产、婆婆未经您同意私自卖掉狗以及因此给您造成的损失。法院将根据事实和法律规定作出判决，要求婆婆赔偿您的损失。
三、证据收集与诉讼准备
证据收集：
- 您需要收集能够证明狗是您的个人财产的证据，如购买发票、宠物登记证、照片或视频等。同时，您还需要收集能够证明婆婆私自卖掉狗的证据，如证人证言、交易记录等。
诉讼准备：
- 在提起诉讼前，您需要准备好起诉状和相关证据材料，并了解诉讼流程和注意事项。如果您不熟悉法律程序，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
四、特殊情况考虑
家庭关系：
- 考虑到婆婆与您的家庭关系，您在采取法律措施时需要谨慎权衡。如果可能的话，尽量通过协商和调解的方式解决问题，以维护家庭和谐。
狗的价值：
- 如果狗的价值不高，您可能需要考虑是否值得投入时间和精力去追究婆婆的法律责任。在这种情况下，协商解决可能是一个更为实际和高效的选择。
建议：我建议您首先尝试与婆婆进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，且您认为婆婆的行为严重侵犯了您的权益，那么您可以考虑向法院提起民事诉讼。在采取任何法律措施之前，请确保您已经收集了足够的证据来支持您的诉求。如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问。