结论：被打者是老年人且已签和解协议的情况下，仍有可能要求处罚打人者，但具体能否实现需结合和解协议内容、处罚类型及案件具体情况综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、和解协议对处罚请求权的影响
和解协议的性质
和解协议本质是双方就民事赔偿达成的合意，属于民事合同范畴。其效力仅限于民事领域，即约束双方就赔偿金额、方式等民事责任进行履行，不涉及对打人者行政处罚或刑事责任的豁免。
例：若协议仅约定“打人者赔偿5万元，被打者不再追究其他责任”，此处的“其他责任”通常指民事责任（如后续医疗费），而非行政处罚（如拘留）或刑事责任（如故意伤害罪）。
协议内容是否明确排除处罚请求权
- 若协议中明确约定“被打者放弃要求公安机关处罚打人者的权利”，则可能构成对行政处罚请求权的放弃，但需注意：
- 此类条款可能因违反《行政处罚法》中“处罚与教育相结合”原则或公共利益而被认定无效；
- 刑事责任属于国家公权力追诉范畴，个人无权通过协议免除他人刑事责任。
- 若协议未提及处罚问题，则被打者仍有权向公安机关报案，要求对打人者进行行政处罚或追究刑事责任。
二、不同处罚类型的请求权分析
行政处罚（如治安拘留、罚款）
- 请求权基础：根据《治安管理处罚法》，公安机关对违反治安管理的行为有权主动查处，被打者也可向公安机关报案要求处罚。
- 和解协议的影响：即使签订和解协议，被打者仍可要求公安机关依法处罚打人者，但若协议已履行且打人者情节轻微，公安机关可能酌情从轻处理。
例：老年人被打致轻微伤，打人者已赔偿并道歉，公安机关可能根据《治安管理处罚法》第9条（调解条款）不予处罚，但被打者仍有权坚持要求处罚。
刑事责任（如故意伤害罪）
- 请求权基础：刑事责任由国家公诉机关（检察院）追诉，被打者作为被害人可向公安机关报案或直接向检察院控告。
- 和解协议的影响：
- 若打人者行为构成犯罪（如轻伤以上），即使签订民事赔偿和解协议，刑事责任仍需追究，但被打者出具谅解书可作为量刑从宽的情节；
- 若打人者行为不构成犯罪（如轻微伤），则仅涉及行政处罚，刑事责任不成立。
例：老年人被打致轻伤，打人者赔偿后取得谅解，检察院可能决定不起诉或法院判处缓刑，但刑事追诉程序仍会启动。
三、特殊情形：老年人权益保护
根据《老年人权益保障法》，老年人因身体机能下降，在侵权案件中可能被认定为“需要特殊保护群体”。若打人者存在利用老年人弱势地位实施侵害的行为，公安机关或法院可能：
- 对行政处罚从重处理（如延长拘留期限）；
- 在刑事案件中不适用缓刑或从宽幅度更小；
- 即使和解协议已履行，仍可依职权启动处罚程序。
四、实务建议
- 审查和解协议内容：重点查看是否明确放弃处罚请求权，若未明确则不影响后续主张；
- 及时报案：无论是否签订协议，均应向公安机关报案，固定证据（如伤情鉴定、监控录像）；
- 咨询专业律师：根据案件情节（如伤情等级、打人者主观恶性）制定策略，例如是否同时主张民事赔偿与刑事控告。
总结：和解协议的签订不必然剥夺被打者要求处罚打人者的权利，需结合协议条款、处罚类型及案件细节综合判断。若您或家人遇到此类情况，可直接向我咨询具体案件处理方案。