结论：体制内发生事故且承担次要责任时，是否可以请病假需根据具体情况判断，包括事故性质、伤情严重程度、单位规章制度以及相关法律法规的规定。以下从多个角度进行分析：

1. 事故性质与伤情：

   • 如果事故导致您受伤，且伤情需要休息和治疗，那么根据一般的劳动法规，您有权请病假。病假是劳动者因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，企业应该根据劳动者本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定的医疗假期。
   • 体制内单位通常也会遵循国家关于病假的规定，并可能在此基础上制定更为详细的规章制度。因此，您需要首先确认自己的伤情是否符合请病假的条件。

2. 单位规章制度：

   • 体制内单位往往有自己的一套规章制度，包括病假申请流程、所需材料、病假期限等。在请病假前，您需要仔细阅读并了解这些规定，确保自己的申请符合单位要求。
   • 如果单位规章制度中明确规定了事故次责情况下的病假申请流程或限制，您需要遵循这些规定。如果规章制度中没有明确规定，您可以参考国家相关法律法规，并与单位人事部门或领导进行沟通协商。

3. 法律法规依据：

   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。这一规定同样适用于体制内单位。
   • 如果事故被认定为工伤（即使您承担次要责任），那么您将享受工伤保险待遇，包括工伤医疗期、工伤津贴等。但在此情况下，您需要按照工伤保险的相关规定进行申请和认定。

4. 实际操作建议：

   • 在请病假前，建议您先与单位人事部门或领导进行沟通，说明自己的伤情和需要请病假的原因。同时，准备好相关的医疗证明和病假申请材料。
   • 如果单位对您的病假申请有异议或拒绝批准，您可以咨询单位内部的劳动争议调解委员会或寻求法律援助，以维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 如果您对病假申请流程或单位规章制度有疑问，建议直接向单位人事部门咨询并获取详细解答。
• 如果您的伤情较为严重或复杂，建议及时就医并保留好相关医疗证明和费用单据，以便后续申请病假或工伤保险待遇时使用。

如有任何进一步的问题或需要法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更为详细的法律建议。