结论前置：妻子是否有义务偿还丈夫背着妻子借钱做生意所产生的债务，主要取决于债务的性质（共同债务还是个人债务）、借款的用途以及妻子是否继承了遗产等多个因素。

详细分析：

1. 夫妻共同债务的情况：

   • 如果丈夫背着妻子借的钱被认定为夫妻共同债务，那么妻子有义务偿还。夫妻共同债务的认定情形包括但不限于：虽然只有丈夫一方签字，但借款实际用于夫妻共同生活或共同经营（如家庭开支、子女教育、共同投资做生意等），或者妻子事后追认等共同意思表示所负的债务。对于这类债务，即使丈夫死亡，妻子仍需承担连带清偿责任。
   • 举例：若丈夫借款用于夫妻共同经营的店铺，且妻子在事后知晓并认可了该借款行为，那么该借款应视为夫妻共同债务，妻子有义务偿还。

2. 丈夫个人债务且未用于共同生活的情况：

   • 如果债务完全是丈夫的个人行为，背着妻子所借，且借款未用于夫妻共同生活或共同经营（如赌博债务、个人投资失败且未用于家庭等），则妻子通常没有义务偿还。这种情况下，债权人只能向已故的丈夫或其遗产追讨债务。
   • 举例：若丈夫背着妻子借款用于个人赌博，且该借款未用于家庭共同生活，那么妻子无需承担偿还责任。

3. 继承遗产的情况：

   • 如果妻子继承了丈夫的遗产，她需要在继承遗产的范围内对丈夫的债务承担清偿责任。这是基于“权利与义务相一致”的原则。例如，如果丈夫遗留了价值50万元的房产等遗产，同时有30万元个人债务，妻子继承了遗产，则她需要用继承的遗产来偿还这30万元债务。如果遗产不足以清偿债务，超出部分妻子没有必须偿还的义务。相反，如果妻子选择放弃继承权，则她通常不需要承担丈夫的债务。
   • 举例：若丈夫去世后留下价值100万元的遗产，同时有80万元的个人债务，妻子选择继承遗产，则她需要用继承的遗产来偿还这80万元债务。若遗产只有60万元，则妻子只需偿还60万元，超出部分无需偿还。

4. 特殊情况：

   • 即便不属于夫妻共同债务且妻子没有继承遗产，若妻子出于自愿选择偿还丈夫的债务，法律也是允许的。这体现了民事主体意思自治的原则。

法律建议：

• 在处理此类问题时，应首先明确债务的性质和用途，以判断是否为夫妻共同债务。
• 如果妻子继承了丈夫的遗产，应了解自己在继承遗产范围内对债务的清偿责任。
• 如有需要，可以寻求专业法律帮助，以确保自己的权益得到妥善保护。

可能法律后果：

• 如果债务被认定为夫妻共同债务，妻子未偿还的，债权人可能通过法律途径追讨，影响妻子的信用记录和财产安全。
• 如果妻子继承了遗产但未在继承范围内清偿债务，可能面临法律纠纷和财产损失。