结论：被开除并拿到赔偿后，若认为公司在开除过程中存在违反法律、法规或劳动合同的行为，仍然有权申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：

一、申请劳动仲裁的法定依据

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条的规定，因“除名、辞退和辞职、离职”发生的争议属于劳动争议范畴，适用该法。因此，当公司开除员工，且员工认为开除行为存在违法情形时，如无正当理由、违反法定程序、未提前通知或未支付足额经济补偿等，均可通过劳动仲裁来解决与公司之间的纠纷。

二、已拿赔偿后申请仲裁的可行性

1. 赔偿与仲裁请求的独立性：员工拿到赔偿，并不意味着放弃了对其他合法权益的追求。如果员工认为公司除了未支付足额赔偿外，还存在其他违法行为，如未提前通知解除劳动合同、未按照法定程序进行开除等，员工仍然有权就这些违法行为申请劳动仲裁。
2. 仲裁请求的多样性：在劳动仲裁中，员工可以提出多种仲裁请求，包括但不限于要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金、未提前通知的代通知金、未支付的工资或加班费等。因此，即使员工已经拿到了一部分赔偿，仍然可以就其他未解决的争议事项申请仲裁。

三、申请劳动仲裁的流程及注意事项

1. 确定仲裁委员会：员工应向有管辖权的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。通常，劳动争议由劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。
2. 准备仲裁申请书：仲裁申请书应详细载明员工的个人信息、用人单位的信息、仲裁请求和所根据的事实、理由，以及证据和证据来源、证人姓名和住所。
3. 收集证据材料：员工应尽可能收集与劳动关系、开除事实及仲裁请求相关的证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、开除通知书、与公司相关人员的沟通记录等。这些证据将有助于证明员工的主张。
4. 注意仲裁时效：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，员工应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。

四、可能面临的法律后果

1. 仲裁裁决的效力：如果劳动仲裁委员会裁决支持员工的仲裁请求，公司应履行裁决义务，如支付赔偿金、代通知金等。如果公司不履行裁决义务，员工可以向人民法院申请强制执行。
2. 仲裁裁决的驳回：如果劳动仲裁委员会认为员工的仲裁请求缺乏事实或法律依据，可能会驳回员工的仲裁请求。但员工仍可以通过诉讼等途径继续维护自己的合法权益。

五、建议

在申请劳动仲裁前，建议你先梳理清楚自己的仲裁请求和所依据的事实、理由，并尽可能收集充分的证据来支持自己的主张。同时，你也可以直接向我咨询具体的仲裁流程和所需材料，以确保你的申请符合规定并提高仲裁成功率。