结论：在第三方全责但交强险赔偿不足的情况下，应由第三方个人承担交强险赔偿限额以外的部分，您可以直接向第三方主张赔偿。若第三方拒绝赔偿或无力赔偿，您可通过法律途径（如起诉）要求其履行赔偿义务。以下是具体分析：

1. 交强险的赔偿范围与不足部分的责任归属

根据《机动车交通事故责任强制保险条例》及《民法典》相关规定，交强险的赔偿限额分为三部分：

• 死亡伤残赔偿限额：18万元；
• 医疗费用赔偿限额：1.8万元；
• 财产损失赔偿限额：0.2万元。

若事故造成的损失超过上述限额（例如医疗费超过1.8万元），超出部分应由侵权方（即第三方）自行承担。交强险的定位是“基础保障”，其赔偿不足时，法律明确要求侵权人补充赔偿。

2. 保险公司是否需赔偿超出部分？

保险公司仅在商业险范围内承担补充责任。若第三方购买了商业第三者责任险（商业险），超出交强险限额的部分可由商业险按合同约定赔偿；但若第三方未购买商业险，或商业险限额仍不足，剩余部分仍需由第三方个人承担。

3. 实务操作建议

• 第一步：固定证据
  保留事故认定书、医疗费票据、维修清单等证据，证明损失金额及第三方全责的事实。
• 第二步：协商或调解
  可先与第三方协商赔偿方案，或通过交警部门、人民调解委员会等机构调解。
• 第三步：法律途径
  若协商无果，直接向法院起诉第三方，要求其赔偿超出交强险部分的损失。诉讼中可申请财产保全，确保执行到位。

4. 特殊情形提示

• 若第三方逃逸或无力赔偿，可申请道路交通事故社会救助基金垫付部分费用（需符合《道路交通事故社会救助基金管理办法》条件）。
• 若您购买了车损险或车上人员责任险（座位险），可向自己的保险公司申请理赔，但保险公司赔付后可能取得对第三方的追偿权（即“代位求偿”）。

总结：交强险不足部分由第三方承担是法律明确规定，您无需通过自己的保险公司索赔（除非涉及代位求偿）。建议优先与第三方沟通，若其拒赔，及时通过诉讼维护权益。如有进一步疑问，可继续向我咨询。