企业未经许可在他人的私人土地上偷挖水井，属于违法行为，应当承担相应的法律责任，具体处理方式需根据实际情况分情况讨论：
根据《民法典》的相关规定，企业的行为构成对土地所有权人或使用权人的侵权。土地所有权人或使用权人有权要求企业停止侵害、恢复原状，并赔偿因此造成的损失。损失赔偿的范围包括直接损失（如土地修复费用、因水井导致的土地价值减损等）和间接损失（如因水井导致无法正常使用土地而产生的收益损失等）。
处理建议：土地所有权人或使用权人应首先与企业协商，要求其停止侵权行为并赔偿损失。若协商无果，可向人民法院提起民事诉讼，要求企业承担民事责任。
根据《水法》等相关法律法规，未经批准擅自取水的，由县级以上人民政府水行政主管部门或者流域管理机构依据职权，责令停止违法行为，限期采取补救措施，处二万元以上十万元以下的罚款；情节严重的，吊销其取水许可证。若企业偷挖水井的行为同时违反了土地管理、矿产资源管理等相关法律法规，还可能面临其他行政处罚。
处理建议：土地所有权人或使用权人可向当地水行政主管部门或相关管理部门举报企业的违法行为。相关部门在查实后，将依法对企业进行行政处罚。
若企业的偷挖水井行为情节严重，如造成重大环境污染、资源破坏或人员伤亡等后果，可能构成犯罪，需依法追究刑事责任。例如，若企业在偷挖水井过程中违反矿产资源法的规定，未取得采矿许可证擅自采矿，且情节严重的，可能构成非法采矿罪。
处理建议：若发现企业的行为已涉嫌犯罪，土地所有权人或使用权人应立即向公安机关报案。公安机关在查实后，将依法对企业进行刑事立案侦查，并移送检察机关审查起诉。