结论：在农田上倒渣土的行为，主要由农业农村主管部门进行监管，并可能涉及环境保护、自然资源等多个部门的协同管理。破坏农田的行为将承担相应的法律责任，包括行政处罚和刑事责任。

详细分析：

1. 监管部门：

   • 农业农村主管部门：根据《中华人民共和国土地管理法》及相关规定，农业农村主管部门负责农村土地的管理和监督工作，包括农田的保护。在农田上倒渣土，显然是对农田的破坏行为，农业农村主管部门有权对此进行监管和处罚。
   • 环境保护部门：如果倒渣土的行为导致了环境污染，如土壤污染、水源污染等，那么环境保护部门也将介入调查和处理。
   • 自然资源部门：自然资源部门负责土地资源的规划和利用管理，对于非法占用土地、破坏土地资源的行为，自然资源部门也有权进行监管和处罚。

2. 法律责任：

   • 行政处罚：根据《中华人民共和国土地管理法》第七十五条：“违反本法规定，占用耕地建窑、建坟或者擅自在耕地上建房、挖砂、采石、采矿、取土等，破坏种植条件的，或者因开发土地造成土地荒漠化、盐渍化的，由县级以上人民政府自然资源主管部门、农业农村主管部门等按照职责责令限期改正或者治理，可以并处罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。”因此，在农田上倒渣土的行为，如果破坏了种植条件，将面临行政处罚。
   • 刑事责任：如果倒渣土的行为情节严重，如数量巨大、造成严重后果等，可能构成犯罪，如非法占用农用地罪等。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，犯罪者将承担刑事责任，包括有期徒刑、罚金等。

3. 实际操作建议：

   • 发现行为及时举报：如果发现有人在农田上倒渣土，应及时向当地的农业农村主管部门、环境保护部门或自然资源部门举报，以便相关部门及时介入调查和处理。
   • 保留证据：在举报时，应尽可能提供详细的证据，如照片、视频、证人证言等，以便相关部门能够准确判断情况并采取措施。
   • 了解法律后果：对于倒渣土的行为人来说，应了解自己的行为可能带来的法律后果，包括行政处罚和刑事责任，以便及时纠正错误并避免更严重的后果。

后续行动建议：

• 如果您是农田的所有者或使用者，发现有人在您的农田上倒渣土，应及时采取措施保护自己的权益，包括向相关部门举报和寻求法律援助。
• 如果您是倒渣土的行为人，应立即停止该行为，并主动与相关部门联系，了解如何纠正错误并承担相应的责任。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。