结论前置：
- 无论何种情况，在国道上撞死狗后都应停车处理，以避免构成肇事逃逸。
- 是否需要赔偿则取决于狗是否有主人以及司机的行为是否符合交通规则。
详细分析：
一、为何需要停车
在国道上撞死狗后，无论狗是否有主人，司机都应立即停车查看情况。这是因为，如果司机选择离开现场，可能构成肇事逃逸。肇事逃逸不仅可能面临法律制裁，还会对司机的个人信用和驾驶记录造成严重影响。因此，从法律责任和道德层面考虑，司机都应停车处理。
二、是否需要赔偿
狗有主人且管理规范
- 情况描述：若狗有主人，并且主人对狗进行了合理的管理（如佩戴狗牌、使用牵引绳等），则狗视为主人的财产。
- 责任判定：在此情况下，若司机因违反交通规则（如超速、酒驾、注意力不集中等）导致撞死狗，需承担侵权责任，赔偿狗主人的财产损失。赔偿金额一般按狗的市场价值确定，可能包括购买价格、饲养成本等。
狗有主人但管理不善
- 情况描述：若狗主人未对狗采取必要的约束措施，允许狗在国道上自由奔跑，则狗主人存在过错。
- 责任判定：若司机正常行驶且无违反交通规则的行为，通常不需承担赔偿责任。但若司机发现狗后本可采取合理措施避免事故却未采取，如急刹车或避让，可能需根据双方过错比例分担责任。这种情况下，赔偿金额会根据双方过错程度进行划分。
流浪狗
- 情况描述：若经调查确认狗为流浪狗，即无主人。
- 责任判定：由于无财产权益受损主体，司机通常不需承担赔偿责任。但从道德层面考虑，司机应尽量避免此类事故发生，如减速慢行、注意观察路况等。
三、法律建议
- 保持警惕：开车在路上，司机应时刻保持警惕，注意观察路况和周围环境，特别是注意是否有动物突然闯入道路。
- 停车处理：一旦发生撞狗事故，应先冷静停车处理，判断狗是否有主人及自身是否存在过错。
- 收集证据：如果可能的话，司机可以拍照或录像记录事故现场，以便后续处理纠纷时提供证据。
- 协商赔偿：如果需要赔偿，司机应与狗主人进行协商，确定赔偿金额和方式。如果协商不成，可以寻求法律途径解决。
总结与建议：
在国道上撞死狗后，司机应立即停车处理，避免构成肇事逃逸。是否需要赔偿则取决于狗是否有主人以及司机的行为是否符合交通规则。为了维护自身权益和避免不必要的纠纷，司机在开车时应保持警惕、注意观察路况，并在发生事故后妥善处理。如果有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。