职工在家休息期间自杀，劳动局一般不直接承担法律责任，但特定情况下可能涉及工伤认定等间接关联。以下从不同角度进行分析：

1. 自杀行为本身的法律定性
   根据《工伤保险条例》第十六条，职工因“自残或者自杀”导致的伤亡，不得认定为工伤或视同工伤。因此，若职工在家休息期间自杀，原则上劳动局不会将其认定为工伤，用人单位无需承担工伤保险责任。但需注意：若能证明自杀与工作存在直接因果关系（如长期遭受职场暴力、过度加班导致精神崩溃等），可能存在例外情形，但实践中认定标准极为严格。

2. 劳动局的职责范围
   劳动局（现人力资源和社会保障局）的主要职责包括劳动监察、工伤认定、劳动争议调解等。在职工自杀事件中：

   • 若家属申请工伤认定，劳动局需依法审查是否符合《工伤保险条例》条件，并出具书面结论；
     
   • 若涉及用人单位存在违法行为（如未缴纳社保、强迫加班等），劳动局可介入调查并责令整改；
     
   • 但劳动局无权直接追究职工或他人的刑事/民事责任，此类问题需通过公安、法院等部门处理。

3. 用人单位的潜在责任
   虽然自杀本身不构成工伤，但用人单位可能因以下情形承担责任：

   • 未履行劳动安全保障义务：如未提供心理疏导、未及时干预职场欺凌等，可能被认定为存在过错，需承担民事赔偿责任；
     
   • 未依法缴纳社保：若因未缴社保导致家属无法领取丧葬补助金等，用人单位需补缴并支付相应待遇；
     
   • 劳动合同违法解除：若职工自杀前与用人单位存在劳动争议（如被违法辞退），可能引发后续纠纷。

4. 家属的救济途径
   家属可通过以下方式维护权益：

   • 向劳动局申请工伤认定（需提供证据证明自杀与工作相关）；
     
   • 向用人单位主张民事赔偿（需证明用人单位存在过错）；
     
   • 通过工会、劳动监察部门投诉用人单位违法行为；
     
   • 涉及刑事犯罪的（如教唆自杀），向公安机关报案。

建议：若您或家属遇到此类情况，建议收集劳动合同、工作记录、医疗证明等证据，及时向劳动局申请工伤认定或通过法律途径主张权利。如有具体问题，可直接向我咨询，我将结合细节为您提供进一步分析。