结论：面对肇事者不承担责任，而您被连带责任并被执行的情况，您可以通过提出执行异议、申请再审或申诉、追究肇事者法律责任以及寻求法律援助等多种途径来维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 提出执行异议：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果您认为执行行为违反了法律规定，或者执行标的存在争议，您有权向执行法院提出书面异议。
   • 操作建议：您应当准备充分的证据材料，如事故责任认定书、赔偿协议（如有）、执行通知书等，以证明您并非应承担连带责任的一方，或者执行行为存在错误。向执行法院提交执行异议申请，并等待法院的审查和处理。

2. 申请再审或申诉：

   • 适用情形：如果您认为原判决、裁定存在错误，导致您被错误地承担了连带责任，您可以在法定期限内向上一级人民法院申请再审，或者向人民检察院提出申诉。
   • 操作建议：在申请再审或申诉时，您需要提交详细的再审申请书或申诉状，阐述原判决、裁定存在的错误及理由，并提供相关证据材料。法院或检察院将依法进行审查，并作出是否再审或申诉的决定。

3. 追究肇事者法律责任：

   • 法律依据：肇事者作为事故的责任方，应当承担相应的法律责任。如果您被错误地承担了连带责任，您有权在承担责任后向肇事者追偿。
   • 操作建议：在追究肇事者法律责任时，您需要收集充分的证据材料，如事故现场照片、证人证言、医疗费用单据等，以证明肇事者的过错及您因此遭受的损失。然后，您可以向法院提起民事诉讼，要求肇事者承担赔偿责任。

4. 寻求法律援助：

   • 适用情形：如果您在处理此事过程中遇到法律难题或需要专业法律帮助，您可以寻求法律援助。
   • 操作建议：您可以联系当地的法律援助机构或律师事务所，咨询专业律师的意见。律师将根据您的具体情况，为您提供法律咨询、代理诉讼等法律服务，帮助您维护自己的合法权益。

特别提醒：

• 在处理此类法律事务时，请务必保持冷静和理性，不要采取过激行为或违法手段来维护自己的权益。
• 请及时收集并保存相关证据材料，以便在需要时提供证明。
• 如果您对法律程序或法律规定不熟悉，建议寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。

后续行动建议：

• 根据您的具体情况，选择上述一种或多种途径来维护自己的合法权益。
• 在处理过程中，保持与法院、检察院或律师事务所的沟通联系，及时了解案件进展情况。
• 如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问，我将竭诚为您服务。