交通运输部门工作人员一般不可以直接开私家车执法，但在特定紧急情况下且符合法定程序时可能存在例外。具体分析如下：

1. 常规执法情形
   根据《行政处罚法》《交通运输行政执法程序规定》等法律法规，交通运输部门执法人员执行公务时需满足以下条件：

   • 身份合法性：必须出示有效执法证件（如行政执法证），表明身份和执法权限；
     
   • 车辆合规性：通常需使用标有统一执法标识、配备执法设备的专用车辆，以确保执法程序规范性和公信力；
     
   • 程序合法性：执法行为需严格遵循法定程序（如现场检查、调查取证、文书制作等），私家车缺乏执法设备支持，难以满足程序要求。
     结论：日常执法中，开私家车执法因不符合车辆标识和设备要求，属于程序违法，相关证据可能被认定为无效。

2. 特殊紧急情形
   在以下情况下，执法人员可能临时使用私家车：

   • 紧急追捕：如遇危险品运输车辆逃逸、重大交通事故肇事者逃逸等紧急情况，需立即追击时；
     
   • 设备故障：执法车辆突发故障无法使用，且无其他替代车辆时；
     
   • 偏远地区执法：在无专用车辆覆盖的偏远区域，为及时制止违法行为（如非法营运、超限运输）时。
     限制条件：
     
   • 需事后补办手续（如向单位报备、说明情况）；
     
   • 执法过程中仍需出示证件、全程录音录像；
     
   • 不得因使用私家车简化或省略法定程序（如未制作现场笔录、未告知权利义务等）。
     结论：紧急情况下使用私家车执法需严格符合法定条件，否则仍可能构成程序违法。

3. 法律风险提示

   • 对执法部门：若未满足上述条件，可能面临行政复议或诉讼中“程序违法”的指控，导致行政处罚被撤销；
     
   • 对相对人：若认为执法程序违法，可依法提出异议（如拒绝配合、申请行政复议或提起行政诉讼）；
     
   • 对执法人员：故意违规使用私家车执法可能构成滥用职权，需承担行政责任甚至刑事责任。

建议：若您遇到交通运输部门执法人员使用私家车的情况，可要求其出示证件、说明执法依据，并注意观察是否履行法定程序（如制作笔录、告知权利等）。如有疑问，可直接向我咨询具体应对措施。