法定节假日私企不可以不放假，但在特定条件下安排工作并依法支付加班费是允许的。以下是对这一问题的详细分析：
一、法定节假日的法律规定
根据《中华人民共和国劳动法》第四十条，用人单位在元旦、春节、国际劳动节、国庆节等法定节假日期间，应当依法安排劳动者休假。这些节日是国家法律统一规定的用以进行庆祝及度假的休息时间，劳动者在这些节日期间享有休息的权利。
二、特殊情况下的加班与报酬支付
尽管法定节假日原则上应放假，但也存在一些特殊情况。在以下情形下，私企可以安排劳动者在法定节假日工作，但需按规定支付报酬：
因生产经营需要：如果私企因生产经营需要，在与工会和劳动者协商一致的前提下，可以安排法定节假日加班。此时，私企需按照《中华人民共和国劳动法》第四十四条第三项的规定，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬作为加班费。
特殊行业和紧急任务：如因自然灾害、事故等威胁劳动者生命健康和财产安全的情况，或生产设备、交通运输线路、公共设施发生故障影响生产和公众利益，必须及时抢修等，私企可以安排劳动者在法定节假日工作。同样，此时也需依法支付加班费。
三、劳动者权益保护措施
如果私企既未按规定放假，又未支付相应报酬，劳动者可以采取以下措施维护自身权益：
与公司协商：首先尝试与公司进行友好沟通，明确指出公司的做法不符合法律规定，要求公司给予相应的假期或支付加班工资。这是解决纠纷最直接且成本较低的方式。
向劳动监察部门投诉：若协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对公司的违法行为进行查处，确保劳动者的合法权益得到保护。
申请劳动仲裁或提起诉讼：劳动者还可以收集好相关证据（如劳动合同、考勤记录、工资条等），向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付加班工资、补休等。对仲裁结果不满意的，劳动者可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、实际案例与法律后果
在实际操作中，如果私企违反法定节假日的相关规定，既不安排员工休假又不依法支付加班费，将面临劳动行政部门的处罚，包括但不限于警告、罚款等。同时，劳动者也有权通过法律途径追讨应得的加班费用及赔偿。
总结与建议：
法定节假日是劳动者依法享有的休息权利，私企应当严格遵守法律规定，保障劳动者的合法权益。在特殊情况下需安排加班的，也应履行与劳动者的协商程序并依法支付加班费。作为劳动者，如果遇到权益受损的情况，应积极采取措施维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。