结论：经济补偿不支付时，能否同时要求经济赔偿金，需根据具体情况判断，一般情况下不能同时主张，但在特定情形下可能存在例外。以下从不同角度详细分析：
一、经济补偿与经济赔偿金的基本概念及区别
经济补偿：通常指用人单位在解除或终止劳动合同时，依法向劳动者支付的一次性补偿。其目的在于对劳动者因劳动关系终止而可能遭受的损失进行一定程度的弥补。经济补偿的计算通常依据劳动者在本单位的工作年限和月工资标准。
经济赔偿金：则是指用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同时，需要向劳动者支付的赔偿。其性质属于惩罚性赔偿，旨在惩罚用人单位的违法行为，并补偿劳动者因此遭受的损失。经济赔偿金的计算通常是经济补偿金的两倍。
二、一般情况下不能同时主张经济补偿与经济赔偿金
根据《劳动合同法》的相关规定，经济补偿与经济赔偿金在性质、目的和计算方式上均存在显著差异。在用人单位合法解除或终止劳动合同时，劳动者只能主张经济补偿；而在用人单位违法解除或终止劳动合同时，劳动者则有权主张经济赔偿金。由于这两种补偿方式针对的是不同的法律情形，因此一般情况下不能同时主张。
三、特定情形下可能存在例外
尽管一般情况下不能同时主张经济补偿与经济赔偿金，但在某些特定情形下，劳动者可能同时享有这两种权益。例如：
用人单位部分违法解除或终止劳动合同：如果用人单位在解除或终止劳动合同时，部分行为合法、部分行为违法，那么劳动者可能既有权获得经济补偿（针对合法部分），又有权获得经济赔偿金（针对违法部分）。但这种情况较为复杂，需要具体分析用人单位的行为性质及后果。
劳动合同解除或终止后的后续事宜处理不当：有时用人单位在解除或终止劳动合同后，可能因处理不当（如未按时支付经济补偿、未办理离职手续等）而给劳动者造成额外损失。在这种情况下，劳动者除了可以主张因违法解除或终止劳动合同而应得的经济赔偿金外，还可能因用人单位的后续不当行为而主张额外的赔偿或补偿。但这种额外赔偿或补偿与经济补偿在性质上可能有所不同，需要具体分析。
四、法律建议
明确用人单位的行为性质：劳动者在主张权益时，应首先明确用人单位解除或终止劳动合同的行为是否合法。如果用人单位的行为违法，那么劳动者应优先主张经济赔偿金；如果用人单位的行为合法但存在瑕疵（如未按时支付经济补偿），那么劳动者可以主张经济补偿及因瑕疵行为而产生的额外赔偿或补偿。
收集并保留相关证据：无论主张经济补偿还是经济赔偿金，劳动者都需要收集并保留相关证据以支持自己的主张。这些证据可能包括劳动合同、工资单、解除或终止劳动合同的通知、用人单位的违法行为证明等。
咨询专业律师：由于劳动纠纷涉及的法律问题较为复杂且多变，因此劳动者在主张权益时最好咨询专业律师的意见。律师可以根据劳动者的具体情况和用人单位的行为性质，为劳动者提供针对性的法律建议和帮助。
总结：经济补偿不支付时，能否同时要求经济赔偿金需根据具体情况判断。在大多数情况下，这两种补偿方式不能同时主张；但在特定情形下（如用人单位部分违法解除或终止劳动合同、劳动合同解除或终止后的后续事宜处理不当等），劳动者可能同时享有这两种权益。因此，劳动者在主张权益时应明确用人单位的行为性质、收集并保留相关证据，并咨询专业律师的意见。