私自运送遗体是否构成刑事犯罪，需分情况讨论：

一、可能构成刑事犯罪的情况

若私自运送遗体的行为违反了《刑法》的相关规定，特别是当该行为伴随有盗窃、侮辱、故意毁坏尸体、尸骨、骨灰等情节时，可能涉嫌构成盗窃、侮辱、故意毁坏尸体、尸骨、骨灰罪。根据《刑法》第三百零二条的规定，犯此罪的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。这种情况下，私自运送遗体不仅违反了殡葬管理秩序，更对逝者的尊严造成了严重侵害，因此会受到刑法的严厉制裁。

二、一般违法但未构成刑事犯罪的情况

如果私自运送遗体的行为并未伴随上述严重情节，但仍然违反了相关法律法规，如《治安管理处罚法》等，那么该行为虽然不构成刑事犯罪，但也会受到相应的治安管理处罚。具体来说，可能会面临十日以上十五日以下拘留；情节较轻的，处五日以上十日以下拘留。这种处罚旨在维护社会管理秩序，防止因私自运送遗体而引发的各种社会问题。

三、特殊情况下的处理建议

在遇到特殊情况需要处理遗体时，如因自然灾害、事故等紧急情况需要迅速转移遗体，应当及时联系当地民政部门或相关殡葬管理机构，按照正规流程办理相关手续。这样不仅可以避免触犯法律，还能确保遗体的妥善处理，维护逝者的尊严和家属的权益。

总结与建议：

私自运送遗体是否构成刑事犯罪，取决于该行为是否违反了《刑法》的相关规定，并伴随有盗窃、侮辱、故意毁坏尸体、尸骨、骨灰等严重情节。若构成犯罪，将受到刑法的严厉制裁；若未构成犯罪，但违反了相关法律法规，也会受到相应的治安管理处罚。因此，在处理遗体时，务必遵守相关法律法规，按照正规流程办理相关手续。如果有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。