结论：刑事案件申请重新司法鉴定不一定要公安机关出具相关手续，但不同申请主体申请重新鉴定的条件和程序存在差异。以下是具体情况分析：
犯罪嫌疑人、被告人及其辩护人申请重新鉴定
- 申请主体资格：犯罪嫌疑人、被告人及其辩护人有权对用作证据的鉴定意见提出异议，并申请重新鉴定。这是法律赋予犯罪嫌疑人、被告人及其辩护人的诉讼权利，旨在保障其合法权益，确保案件公正审理。
- 申请程序：通常需要向办案机关（如公安机关、人民检察院或人民法院）提出书面申请，说明申请重新鉴定的理由。办案机关会根据具体情况进行审查，认为有必要的，会同意重新鉴定，并委托有资质的鉴定机构进行。这里并不要求必须由公安机关出具特定手续来启动重新鉴定程序，而是由办案机关根据案件情况和申请理由来决定是否批准。
- 法律依据：《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百四十八条规定，侦查机关应当将用作证据的鉴定意见告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申请，可以补充鉴定或者重新鉴定。
被害人申请重新鉴定
- 申请主体资格：被害人作为案件的受害方，对涉及自身权益的鉴定意见也有权提出异议并申请重新鉴定。这有助于被害人维护自己的合法权益，确保案件处理结果的公正性。
- 申请程序：与犯罪嫌疑人、被告人及其辩护人申请重新鉴定类似，被害人需要向办案机关提出书面申请，阐述申请重新鉴定的理由。办案机关审查后，认为符合条件的，会批准重新鉴定。同样，并非必须由公安机关出具手续，而是由办案机关依职权处理。
- 法律依据：同上述《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百四十八条的规定，被害人提出申请时，也可以进行补充鉴定或者重新鉴定。
办案机关自行决定重新鉴定
- 决定主体：在刑事诉讼过程中，公安机关、人民检察院和人民法院作为办案机关，如果发现原鉴定意见存在疑问、错误或者有其他需要重新鉴定的情形，可以自行决定重新鉴定。
- 决定程序：办案机关内部会有相应的审批程序，决定重新鉴定后，会委托有资质的鉴定机构进行。这种情况下，不需要犯罪嫌疑人、被告人、被害人或其他主体申请，而是由办案机关依职权主动进行。
- 法律依据：办案机关在刑事诉讼中承担着查明事实、收集证据的职责，对于鉴定意见这类重要证据，有权进行审查和判断，必要时可以决定重新鉴定，以确保案件质量。