核心结论：需根据具体情况判断责任归属，可能涉及民事赔偿或刑事责任，具体处理方式如下：

1. 责任划分需结合因果关系
   若推搡行为与脑血栓发作存在直接因果关系（如推搡导致头部撞击、情绪激动诱发疾病），先动手方可能需承担部分或全部责任；若脑血栓系自身疾病导致，与推搡无直接关联，则责任可能减轻或免除。需通过医疗鉴定确认因果关系比例。

2. 民事赔偿处理流程

   • 协商解决：双方可自行协商赔偿金额（如医疗费、误工费等），签订书面协议。
     
   • 第三方调解：通过居委会、派出所或人民调解委员会介入调解。
     
   • 诉讼途径：若协商/调解失败，受害方可向法院起诉，要求赔偿。需提供证据（如监控、证人证言、医疗记录等）。

3. 刑事责任风险
   若推搡行为被认定为“过失致人重伤”（如明知对方有疾病仍激烈推搡），可能触犯《刑法》第235条，面临三年以下有期徒刑或拘役。但若脑血栓系意外，通常不构成刑事犯罪。

4. 关键证据收集

   • 现场监控或目击者证言（证明推搡行为及先动手事实）。
     
   • 医院诊断证明（明确脑血栓发作时间与推搡的关联性）。
     
   • 警方出警记录或笔录（记录事件经过）。

建议行动步骤：

1. 立即报警并保留现场证据；
   
2. 督促对方或自行保存医疗记录；
   
3. 咨询律师评估责任比例及赔偿方案；
   
4. 根据律师意见选择协商、调解或诉讼。
   

提示：法律责任需结合具体证据和医学鉴定，建议尽快委托律师介入处理。如有进一步问题，可直接向我咨询。