劳工派遣工的公司完全能够申请工伤认定。以下是对此问题的详细解析：
一、法律依据与责任主体
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》及相关法律法规，劳务派遣单位是用人单位，与被派遣劳动者存在劳动关系，并承担工伤保险责任。这意味着，劳务派遣单位有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，并在其因工作原因受到事故伤害时，申请工伤认定。
- 《劳务派遣暂行规定》也明确指出，劳务派遣单位应依法申请工伤认定，用工单位则需协助调查核实。
责任主体：
- 劳务派遣单位作为用人单位，是工伤认定的主要申请主体。它应在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 若劳务派遣单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织也有权在一年内直接向社会保险行政部门提出申请。
二、工伤认定的流程与材料
申请流程：
- 劳务派遣单位或工伤职工（及其近亲属、工会组织）应向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 社会保险行政部门受理申请后，会根据审核需要对提供的证据进行调查核实。
- 社会保险行政部门自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，并出具《认定工伤决定书》或《不予认定工伤决定书》。对于事实清楚、权利义务明确的工伤认定申请，可在15日内作出决定。
申请材料：
- 工伤认定申请表（包含事故发生的时间、地点、原因以及职工伤害程度等基本情况）。
- 与劳务派遣单位存在劳动关系的证明材料，如劳动合同、工资发放记录、工作证等。
- 医疗机构出具的受伤后诊断证明书或者职业病诊断证明书（或职业病诊断鉴定书）。
三、工伤保险责任的承担
- 已缴纳工伤保险：若劳务派遣单位已依法为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，则大部分工伤保险待遇将由工伤保险基金支付。劳务派遣单位则负责支付停工留薪期内的工资福利等。
- 未缴纳工伤保险：若劳务派遣单位未依法为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，则所有原本应由工伤保险基金支付的费用将由劳务派遣单位承担。
- 用工单位过错：若用工单位在实际使用派遣员工过程中存在过错，导致员工受伤，可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
四、实际案例与注意事项
- 在实际案例中，若劳务派遣职工在工作中受伤，首先应由劳务派遣单位负责申请工伤认定。若单位未能在规定时间内申请，职工或其家属应及时自行申请，以确保权益得到保障。
- 用工单位应积极配合调查，提供必要证据。如遇到复杂情况或争议，建议及时向我咨询，以确保合法权益得到有效维护。
总结与建议：
劳工派遣工的公司完全能够且应当申请工伤认定，以保障被派遣劳动者的合法权益。若劳务派遣单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织也有权自行申请。在申请过程中，应准备齐全相关材料，并遵循正确的申请流程。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。