结论：公司在以下几种特定情形下不能随意开除员工，这些情形主要包括员工处于特殊保护期间、从事特定工作未进行离岗前职业健康检查、连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年，以及其他法律规定不得解除劳动合同的情形。

详细分析：

1. 员工处于特殊保护期间：

   • 孕期、产期、哺乳期：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第四项，女职工在孕期、产期、哺乳期内，用人单位不得依照该法第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这是为了保护女职工在特殊生理时期的权益，确保她们不会因怀孕、生产或哺乳而失去工作。
   • 患病或非因工负伤：依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项，员工因病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位同样不得解除劳动合同。这是为了给予员工足够的时间进行治疗和恢复，避免因病或非因工受伤而失去经济来源。
   • 工伤或职业病：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第二项，员工在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的，用人单位不得解除劳动合同。这是为了保障工伤或职业病员工的合法权益，确保他们不会因工作原因导致的伤害而失去工作。

2. 从事特定工作且未进行离岗前职业健康检查：

   • 对于从事接触职业病危害作业的劳动者，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第一项，如果未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或医学观察期间，用人单位不得解除劳动合同。这是为了保护劳动者免受职业病危害，确保他们在离岗前能够接受必要的健康检查。

3. 连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第五项，员工在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的，用人单位不得解除劳动合同。这是为了保护长期为企业服务的员工的权益，确保他们在临近退休时不会因企业裁员而失去工作。

4. 其他法律规定不得解除劳动合同的情形：

   • 这包括但不限于员工担任工会主席、副主席或委员等职务时，在其任职期间内，如果没有得到工会的同意，用人单位不得随意解除劳动合同。此外，还可能包括其他法律、行政法规中规定的用人单位不得解除劳动合同的情形，如员工正在接受纪律审查或监察调查等。

法律建议：

• 对于员工而言，如果认为自己处于上述不得解除劳动合同的情形中，而公司却试图开除自己，可以首先与公司进行沟通协商，要求公司遵守相关法律法规。如果协商无果，可以向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，要求恢复劳动关系或获得相应的经济补偿。
• 对于公司而言，在考虑解除与员工的劳动合同时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的规定。如果公司违反了这些规定而开除了员工，将可能面临法律责任和声誉损失。因此，公司应谨慎处理员工关系，确保不侵犯员工的合法权益。

可能后果：

• 如果公司违反了上述规定而开除了员工，员工有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼。一旦诉讼成立，公司可能需要恢复与员工的劳动关系，或者支付相应的经济补偿和赔偿金。此外，公司还可能面临行政处罚和声誉损失等后果。

总之，公司在考虑解除与员工的劳动合同时，必须严格遵守相关法律法规的规定，确保不侵犯员工的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。