公立学校辞退临聘教师的补偿问题，需根据辞退的合法性、教师在学校的工作年限、月工资情况以及是否存在过错等因素综合判断。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

一、需支付经济补偿的情况

1. 无过失性辞退：

   • 若教师因患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由学校另行安排的工作的；或不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；或劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经学校与教师协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，学校在提前三十日以书面形式通知教师或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。
   • 经济补偿金计算公式：\(经济补偿金 = 工作年限 \times 月平均工资\)
     • 工作年限：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
     • 月平均工资：指离职前十二个月的平均应得工资（含奖金、津贴等）。
   • 示例：某教师工作2年8个月，月平均工资5000元，则经济补偿金为 \(3 \times 5000 = 15,000元\)。

2. 协商一致解除：

   • 若学校与教师协商一致解除劳动合同，同样需要按照上述经济补偿标准向教师支付补偿金。

3. 经济性裁员：

   • 学校因经济困难等原因进行经济性裁员时，也应按照上述经济补偿标准向被辞退的教师支付补偿金。

二、无需支付补偿或赔偿的情况

• 过失性辞退：
  • 若教师存在在试用期间被证明不符合录用条件的；严重违反学校的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给学校造成重大损害的；同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响（且拒不改正）；以欺诈胁迫手段使学校违背真实意思订立或变更劳动合同导致合同无效；或被依法追究刑事责任等情形，学校可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

三、需支付赔偿金的情况

• 违法辞退：
  • 若学校违反《中华人民共和国劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无正当理由辞退教师，学校应依照经济补偿标准的二倍向教师支付赔偿金。
  • 赔偿金计算公式：\(赔偿金 = 经济补偿金 \times 2\)
  • 示例：上述案例中，若属违法解除，赔偿金为 \(15,000 \times 2 = 30,000元\)。

四、特殊注意事项

1. 未提前通知的代通知金：

   • 若学校未提前30日书面通知解除合同，需额外支付一个月工资作为代通知金。

2. 未签订书面合同的赔偿：

   • 若用工满一个月未满一年未签合同，学校需每月支付双倍工资差额；超过一年则视为无固定期限合同。

3. 社保与公积金补缴：

   • 学校需依法补缴教师在职期间的社保及住房公积金。

五、维权途径

1. 协商：

   • 教师可尝试与学校进行协商，就补偿或赔偿事宜达成一致。

2. 投诉与仲裁：

   • 若协商不成，教师可根据《中华人民共和国劳动法》第七十九条，向当地劳动行政部门投诉，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。当事人一方也可以直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

3. 诉讼：

   • 对仲裁裁决不服的，教师可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

总结与建议：公立学校辞退临聘教师的补偿问题涉及多个方面，包括经济补偿、赔偿金、特殊注意事项以及维权途径等。教师在面对此类问题时，应首先明确辞退的合法性，然后根据自己的工作年限和月工资情况计算应得的经济补偿或赔偿金。同时，教师也应注意保留相关证据，如劳动合同、工资记录、辞退通知等，以便在维权过程中提供有力支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。