结论：顾客在楼梯摔伤，房东是否有责任需视具体情况而定，主要取决于房东是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：
一、房东的安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，房东作为房屋的管理人，对房屋及其附属设施负有安全保障义务。这包括确保楼梯等公共区域的安全，如楼梯的扶手是否稳固、楼梯表面是否防滑、照明是否充足等。如果房东未尽到这些安全保障义务，导致顾客在楼梯摔伤，房东可能需要承担相应的赔偿责任。
具体情形分析：
楼梯存在安全隐患：
- 如果楼梯的扶手松动、楼梯表面湿滑或存在其他明显安全隐患，而房东未及时修复或设置警示标志，导致顾客摔伤，房东应承担主要责任。
房东已尽安全保障义务：
- 如果楼梯状况良好，房东也定期进行了检查和维护，且已设置了明显的警示标志，但顾客仍因自身原因（如疏忽大意、奔跑等）摔伤，房东可能不承担责任或承担较小责任。
二、顾客自身的责任
顾客作为成年人，在行走楼梯时也应尽到一定的注意义务。如果顾客因自身疏忽大意、未注意观察周围环境或违反常规行走方式（如奔跑、跳跃等）导致摔伤，顾客自身也应承担一定责任。
责任划分原则：
- 在确定房东和顾客的责任时，通常会根据双方的过错程度进行划分。如果房东存在明显过错，如未尽安全保障义务，房东应承担主要责任；如果顾客自身也存在过错，如疏忽大意，顾客也应承担一定责任。具体责任比例需根据实际情况由法院或相关机构进行判定。
三、特殊情况下的责任承担
如果房东将房屋出租给第三方管理：
- 在这种情况下，如果第三方管理人未尽到安全保障义务导致顾客摔伤，顾客可以向第三方管理人主张赔偿。同时，如果房东在选任或监督第三方管理人方面存在过错，房东也可能需要承担相应责任。
如果顾客是受邀进入房屋：
- 如果顾客是受房东邀请进入房屋的，房东的安全保障义务可能更为严格。因为房东作为邀请人，有义务确保邀请场所的安全。
四、建议与措施
对于房东：
- 定期检查房屋及其附属设施的安全状况，及时修复存在的安全隐患。
- 在公共区域设置明显的警示标志，提醒顾客注意安全。
- 考虑购买相关保险，以分散潜在的风险。
对于顾客：
- 在行走楼梯时注意观察周围环境，遵守常规行走方式。
- 如果发现楼梯存在安全隐患，及时向房东或相关管理人报告。
- 在摔伤后及时保留证据，如拍照、录像等，以便后续维权。
最后，如果顾客在楼梯摔伤后，认为房东未尽到安全保障义务，可以首先与房东协商解决。如果协商无果，顾客可以向法院提起诉讼，要求房东承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，顾客需要提供充分的证据证明房东存在过错以及自身损失的情况。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。