诉讼时效的举证责任主要由提出抗辩或主张的一方承担，具体分配原则如下：
一、诉讼时效完成的举证责任
在民事诉讼中，诉讼时效的完成是义务人的一种抗辩权。当被告主张原告的起诉已经超过了法定的诉讼时效期间时，应当由被告承担举证责任。被告需要证明诉讼时效期间的确切起始及终止时间，包括权利受到侵害的事实发生的时间，以及在此之后权利人未行使权利的相关证据。例如，在借款合同纠纷中，若被告主张借款已过诉讼时效，则需提供证据证明借款到期日及从到期日起至起诉时，债权人未通过有效方式主张过债权。
二、诉讼时效中断的举证责任
诉讼时效的中断是对诉讼时效期间届满之抗辩主张的再抗辩。根据《中华人民共和国民法典》第一百九十五条的规定，诉讼时效中断的情形包括权利人向义务人提出履行请求、义务人同意履行义务、权利人提起诉讼或者申请仲裁等。在这种情况下，应当由主张诉讼时效中断的权利人（即原告）承担举证责任。原告需要提供充分证据证明中断事由确实存在，并且导致了诉讼时效的中断。这些证据可以包括发出的催款函、双方就债务问题进行沟通的邮件记录等。
三、诉讼时效中断事由结束的举证责任
如果被告主张诉讼时效中断的事由已经结束，那么应当由被告承担举证责任。被告需要证明该中断事由确实已经终止，因为诉讼时效在中断后，如果中断事由消失，诉讼时效将重新计算。因此，被告需要证明这一重新计算的起点已经因为中断事由的结束而确定。
四、举证责任的具体操作与证据类型
书证：包括合同、借条、还款协议等书面文件，这些文件能明确展示权利义务的产生和履行时间，是推断诉讼时效起算点和届满情况的重要依据。
物证：如产品的生产日期、保质期标识等，可在产品质量纠纷中帮助确定权利被侵害的时间，进而判断诉讼时效是否已过。
证人证言：了解案件事实的证人提供的证言，尤其在涉及口头约定的合同纠纷中，对于证明约定的履行期限等内容具有关键作用。
电子数据：短信、电子邮件、即时通讯记录等，因其包含的时间记录和内容，常作为判断诉讼时效的依据。
特殊情形证据：如对方同意履行义务的证据（书面协议、口头承诺的记录或行为表现等）、发送信件或数据电文主张权利的记录（需保存好相关邮件、短信等）、对于金融机构或依法登记备案的其他机构，需提供从相关部门或机构获取的交易或服务记录、其他能够证明诉讼时效中断、中止或延长事由的证据（如法院判决书、裁定书、调解书等法律文书）。
五、法院的审查与判断
法院在审理时，会对当事人提供的所有证据进行真实性、关联性和合法性的严格审查。只有符合这些条件的证据，才能作为认定案件事实的依据。法院会综合考虑各种因素，包括证据的证明力、当事人的陈述、交易习惯以及是否存在诉讼时效中断、中止或延长的法定事由等，以作出公正的裁决。
总结与建议：
诉讼时效的举证责任并非一成不变，而是根据具体情况由不同的当事人承担。在实际操作中，当事人应充分了解并遵循相关法律法规及司法解释的规定，提供充分、确凿的证据来支持自己的主张。若你面临诉讼时效相关的法律问题，可以直接向我咨询，我将结合你的具体情况，为你提供专业的法律建议。