在我国现行法律框架下，若一审判决存在适用法律错误但未上诉，现向检察院申请监督的，检察院的处理方式需分情况讨论：

1. 未超过申请监督期限的情形
   根据《人民检察院民事诉讼监督规则》第21条，当事人可在判决生效后6个月内向检察院申请监督。若未超过该期限，检察院将依法受理并开展审查，重点核查一审判决是否存在《民事诉讼法》第207条第6项规定的“适用法律确有错误”情形（如错误认定法律关系、错误引用法条、违背立法本意等）。若确认存在错误，检察院可向法院提出再审检察建议或提请上级检察院抗诉。

2. 已超过申请监督期限的情形
   若判决生效已超6个月，检察院原则上不予受理，但存在《人民检察院民事诉讼监督规则》第27条例外情形（如因不可抗力、其他正当理由无法在法定期限内提出，或生效裁判系通过审判监督程序作出后再次申请监督的），可酌情延长。此时需提供充分证据证明逾期申请的合理性，否则检察院将作出不予支持的决定。

关键提醒：

• 检察院监督是法定救济途径之一，但需严格符合程序要件。建议提交申请时附上一审判决书、未上诉说明（如因客观原因未上诉的证据）、法律适用错误的具体分析材料，以提升审查效率。
  
• 若检察院不予支持，可考虑通过信访渠道反映情况，但需注意信访不替代法定诉讼程序，最终救济仍需回归再审或抗诉程序。
  

建议行动：
若您需进一步分析案件是否符合检察院监督条件，或需协助准备申请材料，可直接向我提供一审判决书及关键证据，我将结合具体案情为您制定方案。