结论前置：在特定情况下，公职人员确实可以不被开除公职，这主要取决于违法违纪的严重程度、具体情节以及相关法律法规的规定。以下我将从公务员和事业单位工作人员两个角度，详细阐述哪些情况下公职人员可以不被开除。
一、公务员特殊情况下可不开除的情形
过失犯罪被判处三年以下有期徒刑、管制或拘役
- 法律解释：根据《中华人民共和国公务员法》及相关规定，公务员因过失犯罪被判处三年以下有期徒刑、管制或拘役的，一般应予以开除。但在特殊情况下，如犯罪情节轻微、有悔罪表现、对工作影响不大等，可以不予开除，但需报请上一级机关批准。
- 例子：某公务员因疏忽大意导致交通事故，被判处拘役六个月，缓刑一年。考虑到其平时工作表现良好，且事故非故意为之，经上级机关批准，可以不予开除。
工作表现不佳但未造成严重后果
- 法律解释：公务员年度考核连续两年不称职的，通常予以辞退。然而，如果公务员虽然不胜任现职工作，但拒绝其他安排或拒不服从机关调整、撤销等合理安排的行为并未造成严重后果，且存在其他可宽恕的情形（如健康原因、家庭困难等），可能不会被开除。不过，这种情况较为罕见，且需严格依据法律法规和具体情况进行判断。
- 例子：某公务员因健康原因无法胜任当前高强度工作，拒绝调整到相对轻松岗位，但并未因此造成工作延误或损失。经单位研究并报上级批准，可能对其不予开除，而是采取其他处理措施。
违反工作纪律但情节轻微
- 法律解释：公务员旷工或无正当理由逾期不归连续超过十五天，或一年内累计超过三十天的，通常予以辞退。但如果旷工或逾期不归是由于不可抗力因素（如自然灾害、突发疾病等）导致，且情节轻微，可能不会被开除。此外，对于其他违反工作纪律的行为，如迟到早退、工作懈怠等，如果情节轻微且未造成严重后果，也可能不会被开除。
- 例子：某公务员因突发疾病住院治疗，导致连续旷工超过十五天。经单位核实并报上级批准，可能对其不予开除，而是视为病假处理。
二、事业单位工作人员特殊情况下可不开除的情形
受到刑事处罚但情节轻微
- 法律解释：事业单位工作人员受到刑事处罚的，根据刑罚种类和情节，可能给予降低岗位等级、撤职或开除处分。但如果刑罚较轻（如拘役、管制等），且情节轻微、有悔罪表现、对工作影响不大等，可能不会被开除。
- 例子：某事业单位工作人员因酒驾被判处拘役一个月，缓刑两个月。考虑到其平时工作表现良好，且酒驾行为未造成严重后果，经单位研究并报上级批准，可能对其不予开除。
工作表现与考核问题但存在可宽恕情形
- 法律解释：事业单位工作人员年度考核不合格且不同意调整工作岗位，或连续两年年度考核不合格的，单位可解除聘用合同。但如果考核不合格是由于非个人原因（如单位调整、政策变化等）导致，且工作人员存在其他可宽恕的情形（如长期病假、家庭困难等），可能不会被开除。
- 例子：某事业单位工作人员因单位业务调整导致其原岗位被撤销，且新岗位与其专业技能不匹配，导致年度考核不合格。考虑到其实际情况和单位责任，经单位研究并报上级批准，可能对其不予开除，而是采取其他处理措施。
三、通用特殊情况下可不开除的情形
- 参与或支持不良活动但情节轻微且及时改正：公职人员参与或支持色情、吸毒、赌博、迷信等不良活动的，通常会导致开除。但如果情节轻微且及时改正，未造成严重后果和社会影响，可能不会被开除。不过，这种情况需要严格依据法律法规和具体情况进行判断。
- 违反财经纪律但未造成重大损失：公职人员在管理和使用国家财产时违反财经纪律的，通常会被严厉处罚。但如果违反财经纪律的行为未造成重大损失，且工作人员存在悔罪表现、积极配合调查等情形，可能不会被开除。
总结与建议：公职人员是否被开除公职，取决于多种因素，包括违法违纪的严重程度、具体情节、相关法律法规的规定以及单位的具体处理意见等。在面临类似问题时，建议公职人员及时咨询专业律师（即我本人），了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。同时，公职人员应严格遵守法律法规和职业道德规范，避免触犯开除情形，以维护个人职业生涯和国家利益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。