结论：多付给顾客的6000元，在法律上通常属于不当得利，您有权要求顾客退还。但具体能否成功退还，还需根据实际情况来判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，不当得利是指没有合法根据，使他人受到损失而自己获得了利益。在这种情况下，受损方有权要求得利方返还所得利益。您多付给顾客的6000元，对于顾客而言，就构成了不当得利，因为顾客没有合法依据获得这笔额外的款项，而您则因此受到了损失。
二、实际操作与建议
与顾客协商：
- 首先，您可以尝试与顾客进行友好协商，说明情况并请求其退还多付的款项。这种方式通常最为直接且成本较低。
- 在协商过程中，您可以提供相关的支付记录或交易凭证，以证明您确实多付了款项。
发送正式函件：
- 如果协商无果，您可以考虑向顾客发送一份正式的函件，明确要求其退还多付的款项，并设定一个合理的退还期限。
- 函件中应详细说明事实经过、法律依据以及您要求退还的具体金额。
法律途径：
- 如果顾客仍然拒绝退还，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这包括向法院提起诉讼或申请仲裁等。
- 在提起诉讼或申请仲裁前，建议您收集充分的证据来支持您的主张，如支付记录、交易凭证、与顾客的沟通记录等。
三、可能遇到的法律后果
顾客退还款项：
- 如果顾客认识到自己的错误并愿意退还多付的款项，那么问题将得到圆满解决。
顾客拒绝退还：
- 如果顾客拒绝退还，且您通过法律途径成功维权，那么顾客将被判决退还多付的款项，并可能承担因此产生的诉讼费用或其他相关费用。
- 如果顾客仍然不履行判决或裁决，您还可以申请强制执行，通过法院来强制顾客退还款项。
四、注意事项
- 在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，避免与顾客发生不必要的冲突或纠纷。
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己无法妥善处理此事，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
综上所述，多付给顾客的6000元在法律上属于不当得利，您有权要求顾客退还。但具体能否成功退还还需根据实际情况来判断。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。