结论：针对您描述的情况，即交通事故垫付全部由外婆承担，而其他家庭成员未出分文，且委托人是孩子的母亲，我们可以从多个角度来分析和处理这个问题。
一、法律责任与垫付原则
法律责任：在交通事故中，责任方通常需要根据事故责任比例承担相应的赔偿责任。这包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
垫付原则：在事故发生后，为了及时救治伤者，往往会有家庭成员先行垫付相关费用。这种垫付行为通常是出于亲情和道义上的考虑，而非法律上的强制义务。因此，垫付者有权向责任方或其他应承担责任的家庭成员追偿其垫付的费用。
二、追偿途径与策略
协商解决：
- 家庭内部协商：首先，可以尝试在家庭内部进行协商，明确各自应承担的责任和比例，以及垫付费用的追偿方式。这有助于维护家庭和谐，避免不必要的法律纠纷。
- 与责任方协商：如果事故责任明确，且责任方有赔偿能力，可以与责任方直接协商赔偿事宜，包括垫付费用的追偿。
法律途径：
- 起诉责任方：如果协商无果，或者责任方拒绝赔偿，可以向法院提起诉讼，要求责任方承担赔偿责任，包括追偿垫付的费用。
- 起诉其他家庭成员：如果其他家庭成员根据法律规定或家庭协议应承担部分费用但未承担，也可以考虑向法院提起诉讼，要求他们分担垫付的费用。但这一步需要谨慎考虑，因为可能会引发家庭矛盾。
三、具体操作建议
收集证据：
- 保留所有与事故相关的医疗记录、费用单据、垫付凭证等证据，以便在协商或诉讼时证明自己的垫付行为和金额。
- 如果可能的话，收集其他家庭成员未承担费用的证据，如他们的收入证明、银行流水等，以证明他们有能力但未承担费用。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂问题时，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议，帮助制定追偿策略，并代表您进行协商或诉讼。
考虑家庭关系：
- 在追偿过程中，要充分考虑家庭关系的影响。尽量通过协商等和平方式解决问题，避免对家庭关系造成不可挽回的损害。
四、特殊情况考虑
- 如果外婆垫付的费用超出了其应承担的比例：外婆有权向其他应承担责任的家庭成员追偿其多垫付的部分。
- 如果家庭成员之间有书面协议或口头约定：关于事故费用的承担和垫付，这些协议或约定可以作为追偿的依据。但需要注意的是，口头约定在法律上可能较难证明，因此最好有书面记录。
五、后续行动建议
- 持续沟通：与家庭成员保持沟通，了解他们的想法和态度，寻求共识和解决方案。
- 关注法律动态：关注相关法律法规的变化和司法实践的发展，以便及时调整追偿策略。
最后，我想强调的是，每个家庭的情况都是独特的，因此在处理此类问题时需要根据具体情况制定合适的策略。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。