结论：给公司开车司机身故且没有第三方的情况下，赔偿问题主要涉及工伤保险赔偿以及公司可能承担的额外补偿责任，具体如下：

1. 工伤保险赔偿

   • 赔偿前提：如果公司与司机建立了劳动关系，并且依法为司机缴纳了工伤保险，那么司机因工死亡后，其近亲属可以从工伤保险基金中获得相应的赔偿。这是基于《工伤保险条例》的规定，旨在保障职工在工作中遭受事故伤害或患职业病时能够获得医疗救治和经济补偿。
   • 赔偿项目及标准：
     • 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。这一标准是根据当地的经济发展水平和职工平均工资水平来确定的，旨在帮助家属处理丧葬事宜。
     • 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。具体标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。这一规定体现了对因工死亡职工家属生活保障的关怀。
     • 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。这一标准是全国统一的，旨在为家属提供一定期限内的经济支持。
   • 申请流程：司机的近亲属需要在规定的时间内（一般为事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内），向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。认定工伤后，再向社会保险经办机构申请工伤保险待遇。

2. 公司额外补偿责任

   • 补偿前提：即使公司依法为司机缴纳了工伤保险，但在某些情况下，公司仍可能需要承担额外的补偿责任。例如，如果公司存在违反劳动法律法规的行为，如未提供必要的安全保障措施、未对司机进行安全培训等，导致司机死亡，公司可能需要承担相应的赔偿责任。
   • 补偿内容：公司可能需要支付的补偿包括但不限于精神损害抚慰金、家属处理事故的交通费、住宿费等合理费用。这些补偿的金额需要根据具体情况进行协商或由法院判决确定。
   • 协商与诉讼：如果家属与公司就额外补偿问题无法达成一致，可以通过协商、调解或诉讼等方式解决。在诉讼过程中，法院会根据双方的证据和法律规定，判决公司是否需要承担额外补偿责任以及补偿的具体金额。

3. 未缴纳工伤保险的情况

   • 赔偿责任主体：如果公司未依法为司机缴纳工伤保险，那么司机因工死亡后的所有赔偿费用都需要由公司承担。这是基于《工伤保险条例》第六十二条的规定，用人单位依照本条例规定应当参加工伤保险而未参加的，由社会保险行政部门责令限期参加，补缴应当缴纳的工伤保险费，并自欠缴之日起，按日加收万分之五的滞纳金；逾期仍不缴纳的，处欠缴数额1倍以上3倍以下的罚款。同时，用人单位未参加工伤保险期间职工发生工伤的，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。
   • 赔偿项目及标准：与工伤保险赔偿的项目和标准相同，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。但所有费用均需由公司自行承担，这可能会给公司带来较大的经济压力。

建议：对于此类情况，建议家属首先与公司进行沟通协商，了解公司的态度和赔偿意愿。如果协商无果，可以寻求劳动仲裁或法律诉讼等途径来维护自己的合法权益。同时，也建议公司在日常运营中加强安全管理，依法为员工缴纳社会保险，以降低潜在的法律风险。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。