在一般情况下，被执行人提出执行异议原则上应当通知申请执行人，但在某些特定且紧急的情况下，可能存在不立即通知申请执行人的情形，不过这并非绝对，且需符合严格的法定条件。以下是对此问题的详细分析：
紧急保全措施或初步审查阶段：
- 在某些紧急情况下，如执行异议涉及对执行标的的紧急保全措施，或者法院需要对执行异议进行初步审查以判断其是否具有表面合法性时，法院可能会先对执行异议进行初步处理，而不立即通知申请执行人。但这种情况通常只是暂时的，一旦初步审查完成或紧急情况缓解，法院会尽快通知申请执行人，并给予其陈述和申辩的机会。
涉及国家秘密、个人隐私等特殊情形：
- 如果执行异议的内容涉及国家秘密、个人隐私等敏感信息，且通知申请执行人可能会泄露这些信息或造成其他不良后果，法院可能会在通知申请执行人时采取相应的保密措施，或者在特定情况下暂缓通知。但这种情况同样需要法院进行严格的审查和判断，并确保申请执行人的合法权益不受损害。
法律规定的特殊程序或例外情况：
- 在某些特殊的执行程序或法律规定的例外情况下，可能存在不立即通知申请执行人的情形。但这种情况通常会有明确的法律依据，并且法院会在处理过程中严格遵循法律程序，确保公平、公正和透明。不过，从现有的法律规定和司法实践来看，并没有明确规定在何种具体情况下被执行人提出执行异议可以不通知申请执行人。执行异议的提出和处理通常应当遵循公开、公平、公正的原则，确保各方当事人的合法权益得到充分保障。
法律建议：
- 对于被执行人而言，如果提出执行异议，应当积极配合法院的通知和审查工作，提供必要的证据和材料，以支持自己的异议主张。
- 对于申请执行人而言，如果得知被执行人提出了执行异议，应当及时关注法院的通知和公告，了解异议的具体内容和处理进展，并积极行使自己的陈述和申辩权利。
- 在任何情况下，如果当事人对执行异议的处理结果有异议或不满，都可以通过法律途径进行申诉或复议，以维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果法院在处理执行异议时未依法通知申请执行人，可能会损害申请执行人的合法权益，导致执行程序的不公正或违法。在这种情况下，申请执行人可以通过法律途径进行申诉或复议，要求法院纠正错误并重新处理执行异议。
如有任何关于执行异议或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。