双方寻衅滋事是否存在的问题，需分情况讨论，不能一概而论。以下从不同角度为您详细分析：
一、双方行为均符合寻衅滋事罪构成要件的情况
互殴且符合随意殴打他人情形：
- 当双方并非基于合理矛盾解决方式，而是出于流氓动机（如耍威风、泄愤）随意殴打对方，且达到“情节恶劣”程度时，双方都可能构成寻衅滋事罪。例如，街头偶遇因小事互骂进而大打出手，双方均表现出明显的随意性和恶意性，且殴打行为造成了对方身体伤害或社会秩序的严重破坏。
在公共场所双方起哄闹事：
- 若双方在公共场所发生冲突后，为扩大事态、发泄不满，积极参与起哄闹事，导致公共场所秩序严重混乱（如商场内大声吵闹、推搡致顾客恐慌、经营中断），则双方人员均可能构成寻衅滋事罪。这种情况下，双方的行为相互刺激、相互影响，共同破坏了社会秩序。
二、仅一方行为构成寻衅滋事罪的情况
单方面挑衅与殴打：
- 如果一方出于流氓动机，无故、无理地挑衅并殴打对方，而另一方并未实施寻衅滋事行为，仅是出于自卫或反抗而还击，且未达到“情节恶劣”程度，则只有挑衅方构成寻衅滋事罪。例如，一方在酒吧内无故挑衅并殴打另一方，而另一方仅是进行必要的自卫，未主动攻击或扩大事态。
单方面破坏公共秩序：
- 如果一方在公共场所单独实施起哄闹事、强拿硬要或任意损毁、占用公私财物等行为，严重破坏了社会秩序，而另一方并未参与或协助实施这些行为，则只有实施行为的一方构成寻衅滋事罪。例如，一方在商场内故意破坏商品、扰乱经营秩序，而另一方仅是旁观或劝阻，未参与破坏行为。
三、司法实践中的考量因素
主观故意：
- 司法机关会重点考察双方是否具有寻衅滋事的主观故意，即是否出于无事生非、逞强耍横等不良动机。若双方仅为正常矛盾纠纷中的肢体冲突，缺乏寻衅滋事故意，则一般不认定为该罪。
行为情节与后果：
- 需综合评估双方行为的恶劣程度、造成的实际后果等。只有当双方行为均达到刑法规定的“情节恶劣”、“情节严重”或“造成公共场所秩序严重混乱”标准时，才会被认定构成寻衅滋事罪。若一方行为显著轻微，未达到犯罪标准，则不构成此罪。
四、法律后果与建议
法律后果：
- 对于构成寻衅滋事罪的行为人，根据其情节的严重程度，将依法追究相应的法律责任。如果情节严重构成犯罪，将依法追究刑事责任，可能面临刑罚处罚；如果情节不严重，但构成违法，将依法给予治安管理处罚，如罚款、拘留等。
建议：
- 在日常生活中，公众应自觉遵守法律法规和社会公德，避免参与任何形式的寻衅滋事活动。若遇到冲突或纠纷，应通过合理、合法的方式解决，如协商、调解或寻求法律援助等。同时，对于此类行为，法律将给予严厉的制裁和惩罚，以维护社会秩序和公共安全。
综上所述，双方是否构成寻衅滋事罪需根据具体行为是否符合寻衅滋事罪的构成要件，并结合案件的具体事实、双方的主观故意、行为情节及造成的后果进行综合判断。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。