结论前置：私立学校与教职工之间签订的应为劳动合同，而非劳务合同。这是基于《中华人民共和国劳动合同法》的明确规定，旨在保障双方合法权益。
法律依据与合同性质
劳动合同法的适用：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第二条，该法适用于中华人民共和国境内的企业、个体经济组织、民办非企业单位等组织与劳动者建立劳动关系的情况。私立学校作为民办非企业单位，自然受该法约束。
劳动合同与劳务合同的区别：
- 劳动合同：是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。它受到劳动法的严格保护，涉及工资、工时、社保、福利等多方面权益。
- 劳务合同：则更多是基于民事法律关系，如承揽、委托等，通常不涉及社保、福利等劳动法规定的权益。
私立学校签订劳动合同的具体要求
签订时限：
- 私立学校应在用工之日起一个月内与教职工签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
法律责任：
- 若私立学校未按时签订劳动合同，需向教职工每月支付二倍的工资作为赔偿。若满一年仍未签订，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。
签订劳动合同的重要意义
对教职工而言：
- 劳动合同是维护自身权益的关键凭证，它详细规定了工作岗位、工作地点、工资待遇、工作时间、休息休假、社会保险等核心条款。在发生争议时，劳动合同成为教职工维权的重要依据。
对私立学校而言：
- 签订劳动合同有助于学校规范用工管理，明确双方的权利与义务，从而有效预防劳动纠纷，确保教学与管理秩序的稳定。
实际操作建议
主动提出签订：
- 教职工在入职私立学校时，应主动关注劳动合同的签订情况。若学校未及时提出，教职工有权主动要求签订，以保护自己的合法权益。
仔细审查合同条款：
- 在签订劳动合同时，双方应仔细审查合同条款，确保内容真实、合法、有效。特别是关于薪资待遇、工作时间、社会保险等关键信息，应明确无误，以避免后续产生不必要的争议。
特殊情况说明
- 若私立学校与教职工之间签订的是名为“劳务合同”但实质上符合劳动合同特征的协议（如长期、稳定的工作关系，涉及社保、福利等），则该协议仍可能被认定为劳动合同，受劳动法保护。
综上所述，私立学校与教职工之间应签订劳动合同，以明确双方的权利和义务，保障双方的合法权益。若在实际操作中遇到任何问题或争议，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。