关于“四个未成年子女能否收监”的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要综合考虑多个因素，特别是未成年子女的安置问题。

首先，我们要明确的是，收监是对罪犯的一种刑罚执行方式，其目的在于惩罚犯罪并维护社会秩序。然而，当罪犯是未成年子女的唯一抚养人时，收监执行就会面临一个特殊的挑战：即如何确保这些未成年子女在罪犯被收监后能够得到妥善的安置和照顾。

针对这一问题，一些地方已经建立了相应的协调机制。例如，您提到的湖北省利川市就启动了“罪犯系未成年子女唯一抚养人收押执行后其子女安置抚养问题的协调机制”。这一机制旨在通过法院、公安机关、检察机关和民政部门的协同合作，确保在罪犯被收监后，其未成年子女能够得到及时、有效的安置和抚养。

具体来说，如果罪犯有四个未成年子女，并且这些子女在罪犯被收监后没有其他合适的抚养人，那么相关部门就会介入，对未成年子女的家庭情况、监护状况等进行调查评估，并做好基本生活保障、教育资助救助等保障工作。只有在确保这些未成年子女能够得到妥善安置的前提下，收监执行才会得以进行。

此外，从法律层面来看，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，这是法定的责任。除非父母死亡、丧失监护能力或被撤销监护资格，否则他们不能随意放弃对未成年子女的监护权。因此，在考虑是否对罪犯进行收监时，必须充分考虑其未成年子女的权益和福祉。

综上所述，四个未成年子女本身并不会成为阻止罪犯收监的直接因素。关键在于如何确保这些未成年子女在罪犯被收监后能够得到妥善的安置和照顾。如果相关部门能够建立有效的协调机制，并确保未成年子女的权益得到充分保障，那么收监执行是可以进行的。