结论：13岁不满14岁的初中生打母亲，不可以被报警拘留，但母亲可以报警，警方会依法进行教育和处理。

法律背景与解释：

1. 刑事责任年龄：

   • 根据我国《刑法》的规定，已满16周岁的人犯罪，应当负刑事责任。
   • 已满14周岁不满16周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投放危险物质罪的，应当负刑事责任。
   • 不满14周岁的人，不管实施何种危害社会的行为，都不负刑事责任。这是因为不满14周岁的人，其心智发育尚未成熟，对社会的认知能力和自我控制能力相对较弱，因此法律上认为他们不具备承担刑事责任的能力。

2. 治安管理处罚：

   • 对于不满14周岁的人违反治安管理的行为，虽然不给予治安管理处罚，但应当责令其监护人严加管教。
   • 在本案例中，13岁的初中生打母亲，属于违反治安管理的行为（如果情节轻微，可能不构成治安案件，但打人行为本身是不被允许的），但由于其年龄不满14周岁，因此不会被拘留或给予其他治安管理处罚。

3. 警方的处理方式：

   • 母亲可以报警，警方在接到报警后，会依法进行调查和处理。
   • 对于不满14周岁的违法行为人，警方通常会联系其监护人，要求监护人加强管教，并可能进行口头警告或教育。
   • 如果行为人的行为造成了严重后果或情节恶劣，警方可能会将其送往专门机构进行矫治教育。

法律建议：

• 对于母亲：

  • 如果孩子有打人的行为，首先应当保持冷静，避免与孩子发生直接冲突。
  • 可以尝试与孩子进行沟通，了解其打人的原因和动机，并寻求专业的心理咨询或家庭治疗帮助。
  • 如果孩子的行为持续不改或造成严重后果，应当及时报警并寻求警方的帮助。

• 对于孩子：

  • 应当认识到自己的行为是错误的，并主动向母亲道歉和寻求原谅。
  • 应当接受家长和学校的教育和管理，改正自己的不良行为。
  • 如果感到困惑或无助，可以寻求专业的心理咨询或帮助。

可能的法律后果：

• 如果孩子的行为持续不改或造成严重后果（如母亲受伤严重等），虽然孩子本身不会承担刑事责任或治安管理处罚责任，但家长可能需要承担一定的民事赔偿责任（如医疗费用等）。
• 同时，如果孩子的行为被认定为严重不良行为或违法行为，且家长未能履行监护职责的，相关部门可能会依法对家长进行训诫或责令接受家庭教育指导等。