工厂不给员工交工伤保险且不签劳动合同的行为是违法的。以下从两个核心方面为你详细解释：

1. 不交工伤保险违法
   根据《社会保险法》和《工伤保险条例》，用人单位必须为员工缴纳工伤保险，这是法定义务。即使员工自愿放弃或双方约定不缴纳，该约定也因违反法律强制性规定而无效。若工厂未缴纳，员工发生工伤时，工厂需承担全部赔偿责任（包括医疗费、伤残补助等），同时可能面临社保部门责令补缴、滞纳金及罚款（罚款金额为欠缴数额的1倍至3倍）。

2. 不签劳动合同违法
   依据《劳动合同法》，用人单位自用工之日起1个月内必须与员工签订书面劳动合同。若未签订，从第2个月起需支付双倍工资（最多11个月），且超过1年未签的，视为已订立无固定期限劳动合同。此外，未签合同还可能导致工厂在员工离职时无法通过约定条款限制补偿，增加额外成本。

建议行动：

• 员工可先与工厂协商，要求补缴社保、补签合同并支付未签合同期间的双倍工资差额；
  
• 若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉（快速处理社保问题）或申请劳动仲裁（主张双倍工资、经济补偿等）；
  
• 保留工资条、工作证、考勤记录等证据，以证明劳动关系存在。
  

如有进一步细节需要分析（如工厂抗辩理由、员工具体诉求等），可直接向我咨询，我会结合实际情况为你提供更精准的解决方案。